32×32×3 的输入，16 个 3×3 卷积核只要 448 个参数； 同样输入输出改用全连接要 44251200 个，差 98775 倍。 一个边缘检测核在合成图上打出 91 个强响应，全落在埋的方块边界上。
上一节的感知机把输入摊平成一维，图像的空间结构就丢了。 这一节讲卷积怎么把「相邻」这件事变成参数结构。
一、卷积在算什么
拿一个小窗口（比如 3×3）在图上从左到右、从上到下滑，每滑到一个位置， 就把窗口里的数和核里的数逐位相乘再求和，得到一个输出值。 就这么简单。它和信号处理里的卷积是同一个操作（严格说是互相关，但深度学习圈里都叫卷积）。 输出尺寸的公式：宽减核宽加一。32 宽、核 3，输出就是 30。这是 valid 模式，不补零。 关键点是：同一个核在整张图上滑，用的是同一组数。这叫做权重共享。
二、省参数省得离谱
一个 3×3 核配 3 个输入通道，就是 27 个数；16 个这样的核加 16 个偏置，一共 448 个参数。 同样输入（32×32×3）到同样输出（30×30×16），如果用全连接：3072 个输入接 14400 个输出， 需要 44251200 个参数。 差了 98775 倍。 这个倍数看着夸张，但算法很朴素——全连接是「每个输出位置一套独立权重」，卷积是「所有位置共用一套」。 省参数只是表面。真正的好处是：参数少了两个数量级，过拟合的风险和显存占用都跟着掉下来了。
三、核在找什么：边缘
Demo 用一个经典核：中心 4、四邻 -1（拉普拉斯算子）。它的作用是「中心减四周」。 平坦区域，中心和四周差不多，相减接近 0；边界上中心在方块里、四周在外面，差值就跳起来。 所以它对边缘特别敏感。 我在图上埋了一个 12×12 的亮方块（行 10~21、列 10~21），输出最大值 +19.74、最小值 -11.98， 绝对值大于 6 的位置有 91 个，集中在行 8~21、列 8~21。 行号差一格是正常的：卷积输出的第 8 行对应输入的 8~10 行，它已经碰到方块的上边界了。 做可视化时这个偏移要记住，不然会以为检测偏了。
四、比省参数更重要的是平移等变
同一个核在整张图上滑，意味着物体挪个位置，同一套核照样能检测到。 这叫平移等变：输入平移，输出跟着平移。 全连接没有这个性质。物体挪一格，几乎所有的输入数值都变了，网络得重新学一遍那个位置上的物体。 所以卷积网络在图像上强，不是因为参数少，是因为它把「图像是二维的、 相邻像素有关系」这个先验写进了结构里。 这也是为什么拿卷积网络处理表格数据效果一般——表格的列之间没有「相邻」这回事。
五、动手 Demo：卷积省参数：448 对 4425 万个，还顺手找出边缘
算 32×32×3 输入、16 个 3×3 核这一层的参数量和输出尺寸，再算同样输入输出改用全连接的参数量； 然后造一张带噪合成图（中间埋一个 12×12 亮方块），用中心 4、四邻 -1 的边缘检测核扫一遍， 看强响应落在哪。
for i in range(out_h):
for j in range(out_w):
patch = x[i:i + K, j:j + K, :]
out[i, j] = float((patch * k_edge[:, :, None]).sum())
实跑输出：
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卷积为什么省参数：一次卷积和一层的对比
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输入 32 × 32 × 3
卷积核 16 个 3 × 3
步长 / 填充 1 / 0（valid）
卷积层参数 448
输出尺寸 30 × 30 × 16
同样输入输出用全连接 44251200 个参数
倍数 98775 倍
拿一个 3×3 的边缘检测核（中心 4、四邻 -1）在输入上滑一遍：
输出形状 30 × 30
输出最大值 +19.74
输出最小值 -11.98
强响应像素数（绝对值大于 6） 91
强响应位置范围 行 8~21，列 8~21
我埋的方块位置 行 10~21，列 10~21
为什么行号差一格 卷积输出第 8 行对应输入的 8~10 行，它已经碰到了方块的上边界
强响应正好落在方块的边界上——这就是边缘检测核在做的事：平坦区域四邻和中心差不多，相减接近 0；边界上相差很大，响应就跳起来。
参数省下来的原因是**权重共享**：同一个 3×3 核在整张图上滑，每个位置用的都是那 9 个数。全连接则是每个位置一套独立权重。
省参数只是副产品，真正的好处是**平移等变**：物体挪个位置，同一套核照样能检测到。
448 对 44251200，差 98775 倍。 这个倍数里绝大部分来自「14400 个输出位置共用同一套 27 个数」。 强响应 91 个，位置集中在行 8~21、列 8~21。 方块本身是行 10~21，所以响应落在它的边界上，落点是对的。 输出最小值是 -11.98，负值出现在「中心暗、四周亮」的地方。 边缘检测核有正有负，所以边界两侧一个是正峰一个是负峰。 我给合成图加了标准差 0.15 的噪声。 第一版噪声用 1.0，结果全图都是强响应——噪声本身就有边缘，阈值筛不掉。 这件事在真实图上同样成立：用强核找边缘之前，通常得先做一次高斯模糊。 这个 Demo 是逐像素 Python 循环，30×30 也就 900 次，慢不到哪去。 真实尺寸上必须用矩阵化的实现或者专门的卷积库，不然慢到没法用。
30 秒实验
- 把核换成「上排 -1、下排 +1」，看强响应落在方块的哪几条边上。
- 把卷积核改成 5×5，重算参数量和输出尺寸。
- 想一想：为什么卷积的平移等变性质对图像任务特别重要？
常见误区
- 「卷积就是降维」——它是提取局部特征，降维是池化干的事。
- 「卷积网络强是因为参数多」——恰恰相反，它比全连接少四个数量级。
- 「任意数据都能上卷积」——它依赖「相邻位置有关系」这个前提，表格数据不满足。
自测三问（点开对答案）
1. 卷积层的参数量怎么算？ —— 卷积核数量乘（输入通道 × 核宽 × 核高），再加核数量个偏置。 2. 为什么卷积比全连接省这么多参数？ —— 全连接每个输出位置一套独立权重，卷积所有位置共用同一套核。 3. 平移等变是什么意思？ —— 输入平移多少，输出也跟着平移多少，同一套核照样能检测到。图像是二维的、有空间结构。下一节换成一维的序列：时间上前后有关，网络结构就得跟着变。
- ☐ （本节完，下一节 8.2.3 循环神经网络：用于处理序列数据）