波仔

📄 一句话概括

十进制是「逢十进一」，用 10 个符号（0~9）；二进制是「逢二进一」，只用 2 个符号（0 和 1）。 换算口诀：把所有「1」所在位的「位权」加起来，就是十进制数。 [!tip] 学习路线 本文按「为什么 → 是什么 → 怎么算 → 用在哪 → 自测」的顺序，从头读一遍约 15 分钟。 读到第 4、5 节时手边放张纸，跟着算两道题，比读三遍管用。

1. 为什么电脑只能用 0 和 1？

这不是电脑"聪明"，而是它只能在两种状态里选一个。

电脑的核心是电路。电路最稳定、最便宜、最抗干扰的两种状态就是：

物理状态 电压 表示的二进制
断电 / 低电平 约 0 V 0（关）
通电 / 高电平 约 3.3 V 或 5 V 1（开）

⚠️ 如果硬要造「十进制电脑」

那电路需要区分 10 种稳定的电压档位（比如 0V、0.5V、1.0V……4.5V）。 只要有一点电压波动、一点电磁干扰，电脑就会把 3.0V 认成 2.5V —— 算错了。 只区分"高/低"两个档位，容错空间大得多。 结论：二进制不是因为好算，而是因为好造。用数量换可靠性。 [!info] 补一刀常识 电路里其实用十六进制给二进制"打缩写"：1 位十六进制 = 4 位二进制。 所以你会在颜色代码（#FF8800）、内存地址里看到 A~F 这些字母，它们只是二进制的简写，不是新东西。

2. 十进制：先回忆我们从小会的那套

要素 十进制
符号表 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（共 10 个）
进位规则 逢十进一
每一位的"分量"（位权） 从右往左依次 ×10：1、10、100、1000……

例：数字 3542 拆开看

3 × 1000  +  5 × 100  +  4 × 10  +  2 × 1
  ↑           ↑          ↑          ↑
 千位        百位        十位       个位

❓ 为什么个位是"1"而不是"10"？

因为位权从 10 的 0 次方 开始数：10⁰=1、10¹=10、10²=100。 右边第一位是"0 次方"，这是所有进制的统一规矩。

3. 二进制：把上面那套里的 10 全换成 2

要素 二进制
符号表 0 1（只有 2 个！）
进位规则 逢二进一
每一位的"分量"（位权） 从右往左依次 ×2：1、2、4、8、16、32……

🚨 最容易踩的坑

二进制的 10 不是"十"，是"二"。 二进制的 1101 不要念"一千一百零一"，要念"一 一 零 一"。

位权对照表（背下来最省力）

从右往左第几位 位权（十进制） 备注
第 1 位 1 2⁰
第 2 位 2 2¹
第 3 位 4 2²
第 4 位 8 2³
第 5 位 16 2⁴
第 6 位 32 2⁵
第 7 位 64 2⁶
第 8 位 128 2⁷
第 9 位 256 2⁸
第 10 位 512 2⁹
第 11 位 1024 2¹⁰
第 12 位 2048 2¹¹

💡 记忆技巧

位权序列就是"1、2、4、8"反复翻倍。记住 1 2 4 8 16 32 64 128 这前 8 个，日常够用了。

4. 二进制 → 十进制：加就完事

口诀：把所有「1」所在位的位权加起来。

例题 1：1101 等于多少？

二进制位 1 1 0 1
位权 8 4 2 1
是否参与相加 ✅ 8 ✅ 4 ❌ 0 ✅ 1 
8 + 4 + 0 + 1 = 13

答案：1101 = 13

例题 2：10110 等于多少？

二进制位 1 0 1 1 0
位权 16 8 4 2 1
参与相加 ✅ 16 ❌ 0 ✅ 4 ✅ 2 ❌ 0 
16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22

答案：10110 = 22

📌 自己练一遍

算 1111 和 10001。 1111 = 8+4+2+1 = 15 10001 = 16+0+0+0+1 = 17

5. 十进制 → 二进制：两种方法

方法 A：除 2 取余，倒着读（最万能）

把十进制数反复除以 2，把每次的余数记在右边，直到商为 0，然后从下往上读余数。

以 13 为例：

13 ÷ 2 = 6  …… 余 1   ↑
 6 ÷ 2 = 3  …… 余 0   ↑  从下往上读
 3 ÷ 2 = 1  …… 余 1   ↑  ↓
 1 ÷ 2 = 0  …… 余 1   ↑
                  ↑
              余数序列（倒读）：1 1 0 1

答案：13 = 1101 ✅ 和上一节换算结果一致

方法 B：减权法（心算快，适合小数字）

从最大的、不超过目标的位权开始减，够减记 1、不够记 0。

以 22 为例：

位权 16 8 4 2 1
够不够减 22−16=6 ✅ 6−8 不够 ❌ 6−4=2 ✅ 2−2=0 ✅ 0−1 不够 ❌
记 1 0 1 1 0

答案：22 = 10110

✅ 选哪个方法？
  • 数字小（< 256）→ 减权法，心算几秒出结果
  • 数字大 / 要写代码 → 除 2 取余，永远不出错

6. 一张表看懂二进制怎么"数数"

就像汽车里程表，个位转满一圈就进一位 —— 只不过二进制每 2 就转满一圈。

十进制 二进制 说明
0 0
1 1
2 10 逢二进一，第一次进位
3 11
4 100 又进位
5 101
6 110
7 111 3 位最大
8 1000 4 位开始
9 1001
10 1010
15 1111 4 位全满 = 15
16 10000 进第 5 位

📝 一个规律

n 位二进制能表示 2ⁿ 个数，范围是 0 ~ 2ⁿ−1。 - 3 位 → 0~7（8 个数） - 4 位 → 0~15（16 个数） - 8 位 → 0~255（256 个数）

7. 单位为什么是 1024 而不是 1000？

单位 含义 关系
bit（位） 1 个二进制位，即一个 0 或 1 最小单位
Byte（字节） 8 个 bit 打包 1 Byte = 8 bit
KB 千字节 1 KB = 1024 Byte
MB 兆字节 1 MB = 1024 KB
GB 吉字节 1 GB = 1024 MB

❓ 为什么是 1024 这种"奇怪的数字"？

因为 2¹⁰ = 1024，正好是二进制的整十位数（二进制里 1024 写作 10000000000）。 电脑是二进制世界，用 1024 才是"整数"；用 1000 反而不整。 这也是为什么买 500GB 硬盘，装到电脑里显示只有 465GB 左右 —— 厂商按 1000 算，系统按 1024 算。

8. 二进制在生活里的四个身影

① 文字 —— ASCII 编码

电脑里的每个字符都有一个编号，编号用二进制存。

字符 十进制编号 二进制
A 65 01000001
a 97 01100001
0 48 00110000
空格 32 00100000

所以你打一个"A"，硬盘上实实在在存的是 01000001。

② 颜色 —— RGB 三通道

屏幕上每个像素由红、绿、蓝三盏灯叠出来，每盏灯的亮度是 0~255 —— 正好 8 位二进制能表示的全部范围。

#FF8800  →  R=255, G=136, B=0  →  橙黄色
           (11111111, 10001000, 00000000)

三通道各 256 档 → 256 × 256 × 256 = 1677 万种颜色。

③ 图片和视频

一张图就是密密麻麻的像素，每个像素是一串 0/1；视频是一秒钟几十张图。 所谓"图片压缩"，本质是找出 00000000 00000000 这种重复的 0/1，用更短的写法记下来。

④ 网速和存储

9. 常见误区自查

⚠️ 别踩这些坑
  1. 把二进制 10 读成"十" —— 它是"二"。
  2. 位权从左边数 —— 必须从右往左，最右边是 1。
  3. 0 也算一位 —— 1001 是 4 位，不是 3 位；那个 0 照样占位权 4，只是不加。
  4. 以为前面的 0 没用 —— 在固定宽度的场景（如 8 位 ASCII）里，前面的 0 是补齐位数的，电脑的存储格子里必须有东西。
  5. 把 KB 当成 1000 —— 电脑里通常是 1024。

10. 自测题（先自己算，再点开答案）

❓ - Q1. 二进制 `1010` 等于十进制多少？

位权 8、4、2、1 → 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 10 [!question]- Q2. 二进制 11111111 等于十进制多少？ 8 位全 1，128+64+32+16+8+4+2+1 = 255（记住这个数，颜色和 ASCII 天天用） [!question]- Q3. 十进制 45 换成二进制是多少？ 减权法：45−32=13 ✅，13−16 不够 ❌，13−8=5 ✅，5−4=1 ✅，1−2 不够 ❌，1−1=0 ✅ 位权 32、16、8、4、2、1 → 101101 验证：32+8+4+1 = 45 ✅ [!question]- Q4. 一个 8 位二进制数，最多能表示多少种不同的值？ 2⁸ = 256 种（0~255） [!question]- Q5. 为什么电脑不直接用十进制？ 因为电路只有"通电/断电"两种稳定状态。要区分 10 种电压档位成本高、易受干扰出错。 二进制是"用简单换可靠"。

11. 下一步学什么

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