每条约束在图上是一条直线，几条线围出来的那块地就是可行区域。 三条约束两两求交得到十个交点，落在可行区域里的只有四个，最优解就在这四个里。 这一篇把顶点全枚举出来算一遍，让「最优在顶点」从一句要背的结论变成看得见的事实。
上一篇有了目标函数。这一篇把约束和目标放到同一张图上，得到最优解。 顶点枚举是第 3.5 篇「Solver 在干什么」的底层，也是这本书里唯一一次让你看到算法内部。
一、三条线怎么围出一块地
每条不等式在图上是一条直线，线的一侧是可行的那半边。 三条线的可行半边叠在一起，加上两个坐标轴，围出来的就是可行区域。 它是一个凸多边形——这条性质很重要，正是因为凸，最优解才只在角上。
二、顶点从哪来
多边形的每个顶点，都是两条边界线的交点。 三条约束两两组合，一共三对，加上约束与坐标轴的交点，凑出十个候选点。 把每个候选点代回全部约束检查一遍，能过的才是顶点。这次十个里过了四个。
| 顶点 | 利润 3x+5y |
|---|---|
| (0, 0) | 0 |
| (0, 100) | 500 |
| (110, 45) | 555 |
| (140, 0) | 420 |
最高的那个就是最优解：做 110 百只鸭、45 百条鱼，利润 555（百元）。
三、哪条约束用满了
在最优解上代回去：注塑 400／400、装配 420／420、原料 155／180。 前两条用满，第三条还有富余——说明瓶颈是产能，不是原料。 要投钱，该投机器。这条结论不是算出来的，是看「哪条约束用满」看出来的。
四、图为什么值得画
因为图能让你一眼看到「哪条线离得远、哪条线贴着角」。 数字表只能告诉你最优是多少，图能告诉你为什么是这个。 而且图画出来，客户才相信你不是在黑箱里按了个按钮。
五、动手 Demo：可行区域：把所有约束画进一张图
先把约束两两求交，筛出可行顶点，再比目标函数。 这段代码就是 Solver 内部干的事，只不过它会把答案包装成一个对话框。
A = [(2, 4), (3, 2), (1, 1), (-1, 0), (0, -1)]
B = [400, 420, 180, 0, 0]
c = (3, 5)
pts = []
for i in range(len(A)):
for j in range(i + 1, len(A)):
a1, a2 = A[i], A[j]
det = a1[0] * a2[1] - a1[1] * a2[0]
if abs(det) < 1e-12:
continue
x = (B[i] * a2[1] - a1[1] * B[j]) / det
y = (a1[0] * B[j] - B[i] * a2[0]) / det
if x < -1e-9 or y < -1e-9:
continue
if all(A[k][0] * x + A[k][1] * y <= B[k] + 1e-9 for k in range(len(A))):
pts.append((x, y))
pts.sort()
for x, y in pts:
print('(%6.1f, %5.1f) 利润 %6.1f' % (x, y, c[0] * x + c[1] * y))
bx, by = max(pts, key=lambda p: c[0] * p[0] + c[1] * p[1])
print('最优 (%.1f, %.1f)，利润 %.1f' % (bx, by, c[0] * bx + c[1] * by))
实跑输出：
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可行区域：把所有约束画进一张图
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① 三个约束围出来的那块地
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三条约束两两求交，一共 10 个交点，其中 4 个落在可行区域里。
最优解：x = 110.0，y = 45.0，利润 = 555.0（百元）
② 顶点清单
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(0.0, 0.0) 利润 0.0
(0.0, 100.0) 利润 500.0
(110.0, 45.0) 利润 555.0
(140.0, 0.0) 利润 420.0
③ 把图画出来
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图存成 PNG：33098 字节。区域是多边形，最优解落在它的一个角上。
④ 最优解的意义
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x = 110.0，y = 45.0：一天做 110 百只鸭、45 百条鱼。
这个解把三条约束里的两条用满了，第三条还有富余——
说明原料不是瓶颈，产能才是。要投钱，该投机器。
十个交点，四个可行，最优在 (110.0, 45.0)。 四个顶点全在坐标轴或约束线的交点上——这就是「最优解在角上」的字面意思。
30 秒实验
- 把原料上限从 180 改成 120，顶点集合会变吗？最优解变不变？
- 把装配工时从 420 提到 500，重跑，最优解落在哪个顶点？
- 想一想：如果约束只有两条（没有原料那条），顶点会变成几个？
常见误区
- 以为顶点越多越好：顶点数量取决于约束数量，多到画不出来时，只是枚举变慢，原理不变。
- 忘了检查可行性：算出交点就当成顶点，会把区域外的交点也算进去。
- 只看最优值不看位置：最优解落在哪个顶点，决定了「哪条约束是瓶颈」，这是投钱的依据。
- 用手画的图下结论：图画歪一点，最优解就可能看起来落在别的角上，结论要回到数上核。
自测三问（点开对答案）
1. 为什么可行区域是凸多边形？ —— 每条线性不等式切出的都是半平面，半平面是凸的，凸集的交集仍然是凸的。 2. 十个交点为什么只有四个可行？ —— 其余六个落在可行区域外面，代回约束就有一条不满足。 3. 怎么判断哪条约束是瓶颈？ —— 把最优解代回每条约束，看哪几条正好用满。用满的才是瓶颈。最优解算出来了，可客户又提了个要求：每天至少给他 130 百只鸭。约束一加，区域就变小，钱就少了。
- ☐ （本篇完，下一篇 3.4 新约束与电子表格）