一、根子在【位数有限】

0.1 的二进制是无限的，而存储单元是有限的——只能砍。 单精度留 23 位尾数、双精度留 52 位，多出来的部分一律舍弃。 所以严格地说：计算机里存的 0.1，从来就不是 0.1。 这是第一层误差，叫表示误差——东西还没开始算，就已经不准了。

二、第二层：每一次运算还要再舍一次

两个近似值相加，结果通常又是一个位数超标的数。 于是每一次运算结束都要再舍一次——这就是第二层误差。 两层叠起来，就有了第三层：误差累积。 累加 100 次，就是舍了 100 次；这也解释了为什么【累加】比【乘 100】误差更大。

三、用 0.1 的三次累加看清链条

第一步：0.1 存进去已经带偏差。 第二步：0.1 + 0.1 得 0.2，恰好还在格子上，看不出问题。 第三步：0.2 + 0.1 得到 0.30000000000000004——偏差第一次露出来。 所以不是【加得多了才错】，而是错一直在，只是迟早会跑到小数点后第 17 位去。

四、这不是缺陷，是取舍

用有限位表示无限的量，必然有误差，这是数学上的硬约束，不是工程没做好。 换来的是什么？速度快、范围大、一套硬件能同时管【极小】和【极大】。 所以正确的心态不是【想办法消掉误差】，而是：搞清楚误差有多大、什么时候要紧、什么时候不要紧。 后面两节讲的浮点结构，就是用来判断【误差能有多大】的。

五、动手 Demo：出错的原因就是【截断】

计算机的位数是有限的，无限循环的小数只能被截断或舍入。

s = 0.0
for i in range(1, 4):
    s += 0.1
    print("第 %d 次累加 = %r" % (i, s))
print("乘 100 次 = %r" % (0.1 * 100))

实跑输出：

--------------------------------------------------------------------
出错的原因就是【截断】
--------------------------------------------------------------------

计算机的位数是有限的，**无限循环的小数只能被截断或舍入**。

  0.1 的真实二进制：0.0001100110011001100110011…（0011 无限重复）
  单精度只能留 23 位尾数，双精度只能留 52 位——后面的全丢。

  精度       尾数位     存下的 0.1 的真值                  与真值差
  --------------------------------------------------------------------
  单精度     23         0.1000000014901161193847656250     约 1.5e-09
  双精度     52         0.1000000000000000055511151231     约 5.6e-18

  两条推论：
    **位数越多越精确，但永远不会精确**——0.1 就是写不完。
    **误差会累积**——每一步舍一次，加一百次就舍一百次。

  这也解释了为什么 0.1 累加三次就偏：**每一跳都落不到格子上。**

单精度只留 23 位尾数、双精度只留 52 位，存下的 0.1 与真值都差一点点。 误差会累积：每一步舍一次，加一百次就舍一百次——所以累加比乘法更容易露馅。

30 秒实验

1. 把 0.1 累加 100 次和直接乘 100，两个结果一样吗？动手比一比。
2. 想想 1/3 在十进制里也写不完——每一套计数法都有它【写不完的数】。

常见误区

1. 以为这是【计算机算不准】。它算得很准，只是输入的数一开始就不精确。
2. 以为换成更大精度就没事了。精度再高也只是把出错的位置往后推。

• ☐ 下一节（3.4 什么是浮点数）

相关笔记

• 如何用二进制表示小数 — 写不完是误差的源头
• 什么是浮点数 — 看清误差能有多大
• 🔵 计算机基础 · 索引 — 硬件底层的入门课
• ⚙️ 程序是怎样跑起来的 · 索引