一、规格化：省掉开头的那个 1

任何二进制数规格化之后，尾数一定是 1.xxxx 的样子（第一个有效位永远是 1）。 既然它永远在，那就干脆不存它——省下一位。 例：11.25 = 1011.01（二）= 1.01101 × 2³，尾数部分只存 01101。 这就是为什么 23 位尾数实际能表示 24 位有效数字——那一位是白赚的。

二、代价：0 表示不了

规格化要求尾数开头是 1，那【0】怎么办？ 所以标准里给 0 单独留了位置（指数和尾数全为 0 就表示 0）。 顺带还腾出了几个特殊组合：正负无穷、以及【不是数】（NaN）。 所以浮点数的 0 有两个（+0 和 -0），但它俩比较起来是相等的。

三、移码：让指数能直接比大小

指数有正有负。可如果按补码存，比较两个指数大小就得多做判断。 移码的做法很简单：存【真实指数 ＋ 偏移量】。 单精度偏移量是 127，双精度是 1023。 例：真实指数 3，单精度存的就是 3 + 127 = 130（二进制 1000 0010）。

四、换了移码之后好在哪

存进去的都是非负数了——可以直接按无符号整数比大小，硬件省一堆判断。 代价是读的时候要记得减回去：看到 130，要反应过来它其实是 3。 所以浮点数的位模式里，每个数字都不是肉眼看到的那个值——这正需要下一节的工具去拆。

五、动手 Demo：规格化与移码——两个省心的小设计

规格化：把尾数统一写成 1.xxxx 的样子，开头那个 1 干脆不存。 移码：指数存的是【真实指数＋偏移量】，这样正的负的都能比大小。

v = 11.25
print("二进制    ", format(int(v), "b") + ".01")
print("规格化    1.01101 x 2^3")
print("尾数      01101 -> 补到 23 位")
print("指数      3 + 127 =", 3 + 127)
print("拼起来    0 10000010 01101000000000000000000")

实跑输出：

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规格化与移码——两个省心的小设计
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**规格化**：把尾数统一写成 1.xxxx 的样子，开头那个 1 干脆不存。
**移码**：指数存的是【真实指数＋偏移量】，这样正的负的都能比大小。

  拿 11.25 走一遍单精度的流程：

  步骤                               结果
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  先写成二进制                       1011.01
  规格化：小数点移到第一个 1 后      1.01101 × 2^3
  尾数：省掉开头的 1，补到 23 位     01101000000000000000000
  指数：真实值 3 加偏移量 127        130 = 1000 0010
  符号：正数记 0                     0
  拼起来                             0 10000010 01101000000000000000000

  两个设计省下了什么：
    规格化   白赚一位精度——开头的 1 不用存，却始终在
    移码     指数不必管正负号，**直接按无符号比大小就行**

  **省下的每一点都要还：** 规格化要求尾数不能是 0（所以有了两个特殊的零），
  移码的偏移量（单精度 127、双精度 1023）也成了必须记住的常数。

规格化白赚一位精度（23 位尾数能表示 24 位有效数字），移码让指数能直接比大小。 代价是 0 得单独约定，读指数时必须记得减去 127／1023。

30 秒实验

1. 把 6.5 走一遍单精度流程：先写成二进制，再规格化，再算指数。
2. 看到指数位 01111100，减掉 127，真实指数是多少？

常见误区

1. 以为尾数存的是完整有效数字。开头那位 1 是隐含的，不占位。
2. 直接拿指数位的值当真实指数用。必须减去偏移量（单精度 127）。

• ☐ 下一节（3.6 用程序来实际确认一下吧）

相关笔记

• 什么是浮点数 — 三个字段的来历
• 用程序来实际确认一下吧 — 亲手把位拆开验证
• 🔵 计算机基础 · 索引 — 硬件底层的入门课
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