精确率 0.99、召回 0.10 的模型，算术平均给 0.545，F1 只给 0.182。 F1 是调和平均，被小值主导——召回那一项是 10，直接压住精确那一项的 1.01。
上一节看到了精确率和召回率的拉扯。这一节讲怎么用一个数把它们合起来，以及为什么不能用算术平均。
一、为什么不用算术平均
算术平均（精确 + 召回）÷ 2。它的问题是对两个数一视同仁。 精确 0.9、召回 0.1 的模型，算术平均是 0.500，看着「及格」。 但这个模型十个该抓的只抓到一个，实际不可用。 调和平均的公式是 2PR ÷（P + R），等价于「倒数的算术平均再取倒数」。 因为先取倒数，小值的那一项会变成大数，权重自然就大了。 精确 0.9、召回 0.1：倒数分别是 1.111 和 10，平均是 5.556，再取倒数得 0.180。 召回那个 10 把整体拉下来了。 这就是调和平均的意义：任何一个维度垮了，总分就垮。它不给「一项优秀」发免死金牌。
二、三个互补的模型，F1 也分不出来
Demo 第一张表：A（精确 0.9／召回 0.2）、B（0.6／0.6）、C（0.2／0.9）。 A 和 C 的算术平均都是 0.550，F1 都是 0.327。两个指标都认为它们一样。 这是合理的——A 和 C 只是把两个数换了位置，价值确实相同。 F1 不区分「高在精确」和「高在召回」，这是它的设计。 B 的 F1 是 0.600，比 A、C 都高。因为它是均衡的，两个维度都不瘸。 这就是 F1 想要的：它奖励「两边都不错」，不奖励「一边极致」。
三、F1 和算术平均真正的分歧
第二张表固定精确率 0.9，召回从 0.9 降到 0.1。 召回 0.5 时：算术平均 0.700，F1 0.643。差得不多。 召回 0.1 时：算术平均 0.500，F1 0.180。差了 0.32。 越不平衡，两者分歧越大。 因为算术平均是线性的，F1 是双曲的——召回接近 0 时 F1 也接近 0，算术平均却只掉一半。 还有一行更值得看：精确 0.99、召回 0.10，算术平均 0.545（比 0.500 还高），F1 只有 0.182。 精确率从 0.9 提到 0.99 几乎没提升 F1，因为瓶颈在召回那边。 这告诉你怎么读 F1：它不是「平均分」，是「短板分」。想提高 F1，该补的是那个低的值。
四、需要偏袒某一侧时用 Fβ
通用形式：Fβ =（1 + β²）× P × R ÷（β² × P + R）。β 等于 1 时退化成 F1。 β 大于 1（比如 2）偏重召回，低召回被罚得更重；β 小于 1（比如 0.5）偏重精确。 Demo 里精确 0.9、召回 0.2 的模型：F0.5 是 0.529，F1 是 0.327，F2 是 0.237。 同一组数，β 一变结论就变。 所以报 F1 之前要先想清楚：这个任务里精确和召回真的等重吗？如果是医疗筛查，F2 比 F1 更合适； 如果是垃圾邮件过滤，F0.5 更合适。 β 不该拍脑袋定。 它应该和「误报代价 : 漏报代价」这个比值对应——虽然实践中很少有人真去算这个比值， 但至少要有意识地选。
五、动手 Demo：F1 与算术平均：精确 0.99 召回 0.10 时差出 0.36
先用三个互补的模型（精确召回互换）比算术平均和 F1；再固定精确率扫召回，看两者差距怎么拉开； 最后算 β 取 0.5、1、2 时的 Fβ。
am = (p + r) / 2.0 # 算术平均
f1 = 2 * p * r / (p + r) # 调和平均
for b in (0.5, 1.0, 2.0):
fb = (1 + b * b) * p * r / (b * b * p + r)
实跑输出：
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F1 分数：为什么不用算术平均
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场景 三个模型的精确率和召回率，正负正好互补
模型 精确率 召回率 算术平均 F1
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A：宁可错杀 0.900 0.200 0.550 0.327
B：均衡 0.600 0.600 0.600 0.600
C：宁可漏掉 0.200 0.900 0.550 0.327
看这张表：A 和 C 的算术平均都是 **0.550**，完全一样——在算术平均眼里，一个精确率 0.9、一个召回率 0.9，价值相同。
它们把两个数互换，算术平均不变，这是合理的。但 F1 也不变（都是 **0.327**）——因为 F1 是调和平均，它同样对「一个高一个低」只惩罚一次，不区分是高在精确还是高在召回。
所以这一节要比较的不是「A 和 C 谁更好」，是「为什么不平衡时 F1 比算术平均狠」。看下面这组：精确率固定 0.9，召回从 0.9 一路降到 0.1。
精确率 召回率 算术平均 F1
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0.90 0.90 0.900 0.900
0.90 0.50 0.700 0.643
0.90 0.10 0.500 0.180
0.99 0.10 0.545 0.182
精确率 0.99、召回 0.10 的算术平均 0.545（看起来很体面）
同一组的 F1 0.182（很难看，但诚实）
召回掉到 0.10 意味着「十个该抓的只抓到一个」。这种模型基本没用。算术平均给了它 0.545，等于放过了一个废模型；F1 给了 0.182，说得很清楚。
原因是调和平均被小值主导：1/F1 的一半来自 1/精确率，一半来自 1/召回率，召回率 0.10 那一项是 10，直接压住了另一项的 1.01。
需要偏向某一侧时用 F 的通用形式 Fβ：β 大于 1 偏召回，小于 1 偏精确。
β Fβ（精确 0.900、召回 0.200） 偏向
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0.5 0.529 偏精确
1.0 0.327 均衡
2.0 0.237 偏召回
β 越大越看重召回，低召回被罚得越重（表里 β=2 时只有 0.237）。医疗筛查常用 β=2，因为漏诊比误诊严重。但 β 不是随便定的，它应该对应「误报和漏报的代价比」。
A 和 C 的 F1 都是 0.327，算术平均都是 0.550。 两个指标都认为它们等价——这不是缺陷，A 和 C 确实只是把两个数换了位置。 B（0.6／0.6）的 F1 是 0.600，明显高于 A 和 C。F1 奖励均衡，这是它和算术平均最不一样的地方。 第二张表最有说服力：召回 0.9 时两者只差 0.000，召回 0.1 时差 0.320。 所以「用算术平均还是 F1」这个问题，在不平衡的时候才有意义。 Fβ 那一小表：同一组 P、R，β 从 0.5 到 2，F 从 0.529 掉到 0.237。 所以报 F 分数时必须写清 β 是多少，只写「F 值 0.5」是不完整的。
30 秒实验
- 算一下精确 0.6、召回 0.4 的 F1，再算算术平均，看差多少。
- 把 β 设成 10，看 Fβ 会掉到多少——想想这意味着什么。
- 想一想：为什么召回接近 0 时，F1 也接近 0，而算术平均只掉一半？
常见误区
- 「F1 是精确率和召回率的平均」——是调和平均，不是算术平均，低值权重更大。
- 「F1 高就说明两个都不错」——F1 0.6 可能来自 0.9 和 0.45，也可能来自 0.6 和 0.6。
- 「F 分数不用写 β」——β 不同结论完全不同，必须标明。
自测三问（点开对答案）
1. F1 的公式是什么？ —— 2 乘精确率乘召回率，再除以（精确率加召回率）。 2. 为什么 F1 比算术平均更适合不平衡场景？ —— 调和平均被小值主导，一项垮了总分就垮，不给「一项优秀」发免死金牌。 3. Fβ 里的 β 表示什么？ —— 偏向程度：β 大于 1 偏召回，小于 1 偏精确，等于 1 就是 F1。分类问题讲完了。下一节换到回归：误差该怎么量。
- ☐ （本节完，下一节 9.1.4 误差：更好地处理异常值带来的影响）