8 个样本加 1 个异常点（真实 100、预测 40），四个误差指标的涨幅是：MSE 743.3 倍、 RMSE 27.3 倍、MAE 10.2 倍、MAPE 2.0 倍。同一个异常值，四个指标给出四种反应。
上一节讲分类的指标。这一节换到回归——预测的是连续数值，没有「对错」只有「差多少」。 差多少怎么量，就是这一节的事。
一、四个误差指标
MAE（平均绝对误差）：把每条的误差取绝对值，再平均。单位与原数据一致。 MSE（均方误差）：把误差平方，再平均。单位是原数据的平方，不好解释。 RMSE（均方根误差）：MSE 开根号。单位回到原数据，所以最常用。 MAPE（平均绝对百分比误差）：每条误差除以真实值，取绝对值，再平均成百分比。 四个指标测的是同一件事，但「怎么算误差」这一步不一样，结果就分道扬镳了。
二、异常值一来，四个指标分家
Demo 用 8 个样本，误差在 0.2 到 0.9 之间，很干净。 这时 MAE 0.7125、RMSE 0.7340，两者几乎一样。 加一个异常点（真实 100、预测 40，误差 60）之后：MAE 7.3、RMSE 20.01、MSE 400.48、 MAPE 12.19。 换算成倍数：MSE 涨 743.3 倍、RMSE 涨 27.3 倍、MAE 涨 10.2 倍、MAPE 只涨 2.0 倍。 一条线就分开了：平方类指标（MSE、RMSE）被异常值主导，绝对值类（MAE）温和，相对类（MAPE）最钝。
三、为什么 MSE 涨这么夸张
误差 60 平方之后是 3600。原来 8 个点的平方误差加起来才 4.31。 一个点就让总和变成 3604，平均值从 0.54 跳到 400。 这就是平方的作用：它对大误差的惩罚是二次的。误差翻十倍，平方项翻一百倍。 RMSE 是 MSE 开根号，所以涨幅被压了一半（743 变成 27）。 但它仍然被那一个点主导——20.01 这个数已经完全不反映另外 8 个点的表现。 MAE 只涨 10.2 倍，因为 60 摊到 9 个样本上，每条平均多 6.67。线性增长，符合直觉。 MAPE 涨得最少，因为那个异常点的真实值是 100，相对误差只有 60%； 而原来那 8 个点的真实值只有 9 到 14，误差 0.6 就是 5% 到 7% 的相对误差。 它在相对尺度上反而不算离谱。
四、怎么选：看你怕什么
怕大错就用 RMSE。 它在优化时会强烈惩罚大偏差，适合「错一次代价很大」的场景，比如金融预测、库存预估。 数据脏、有离群点就用 MAE。它对异常值稳健，反映的是「典型表现」。 代价是它对大误差不够敏感，可能放任几次严重偏差。 量纲跨度大（房价有几十万也有几十万，销量有个位数也有上百万）用 MAPE。 但它有两个坑：真实值接近 0 时会爆炸，而且对低估和高估不对称。 绝对不要只报一个。 三个一起报，读者才能判断你的模型是「普遍差一点」还是「大部分很好但偶尔很糟」。 这两种情况对业务的影响完全不同。
五、动手 Demo：一个异常值：MSE 涨 743 倍，MAE 只涨 10 倍
用 8 个真实值和对应预测值（误差都在 1 以内），算 MAE、MSE、RMSE、MAPE； 再加一个异常点（真实 100、预测 40），重算四个指标，看各自涨了多少倍。
e = yt - yp
mae = float(np.abs(e).mean())
mse = float((e * e).mean())
rmse = float(np.sqrt(mse))
mape = float((np.abs(e) / yt).mean() * 100)
实跑输出：
--------------------------------------------------------------------
误差指标：一个异常值能把 RMSE 抬多高
--------------------------------------------------------------------
样本数 8 个，真实值在 9 到 14 之间
指标 MAE、MSE、RMSE、MAPE 四个
指标 8 个样本 加一个异常点 涨了几倍
---------------------------------------------
MAE 0.7125 7.3000 10.2 倍
MSE 0.5388 400.4789 743.3 倍
RMSE 0.7340 20.0120 27.3 倍
MAPE（%） 6.2130 12.1893 2.0 倍
加进去的那个点 真实 100，预测 40，误差 60
原来最大的误差 0.9
这一组数把四个指标的脾气分得很清楚，按涨幅从大到小排：
**MSE**（743.3 倍）涨得最凶，因为它把误差平方了——60 的平方是 3600，一个点就能把整批的平均值拉到天上。
**RMSE**（27.3 倍）是 MSE 开根号，涨幅介于中间，但量纲和原数据一致，所以最常用。
**MAE**（10.2 倍）只涨了一档。它对所有误差一视同仁，一个 60 摊到 9 个样本里，每个样本平均多 6.7。
**MAPE**（2.0 倍）涨得最少，因为它是相对误差——那个异常点的真实值是 100，相对误差只有 60%，而原来那 8 个点的相对误差也有 3% 到 10%。
注意「涨得最少」不等于「更好」。MAPE 对异常值钝，代价是它对大误差也不敏感，优化时模型不会特别怕犯大错。
选哪个指标，取决于你想让模型「在意什么」：
在意大误差被惩罚 → RMSE。它在优化时会把模型往「别犯大错」的方向推。
在意典型误差、不想被个别点带偏 → MAE。它对异常值稳健。
在意相对偏差、量纲跨度大 → MAPE。但真实值接近 0 时它会炸，而且它对「低估」和「高估」不对称。
没有哪个更好。报指标时最好三个一起报，只报一个容易被挑刺。
八个点的 MAE 0.7125 和 RMSE 0.7340 几乎相等。这说明误差分布很均匀，没有大的偏差。 加异常值之前，选哪个指标都差不多。 加了那个点之后 RMSE 是 20.01，MAE 是 7.3。 差 2.7 倍——这个差距就是「有没有被异常值带偏」的量化。 MSE 400.48 这个数已经没法解释（单位是原数据的平方），所以它只用来做优化目标，不用来汇报。 汇报一律用 RMSE。 MAPE 是最反直觉的：它涨得最少（2.0 倍）。因为那个异常点在相对尺度上不算大。 这也提醒一件事——「异常」是相对的，换个指标可能就不异常了。
30 秒实验
- 把异常点改成真实 100、预测 100.5（小误差），看四个指标还涨不涨。
- 把异常点改成真实 1、预测 3，看 MAPE 会变成多少——想想为什么会爆。
- 想一想：你的业务里，「偶尔错得很离谱」和「普遍错一点」，哪个更不能接受？
常见误区
- 「RMSE 一定比 MAE 好」——它被异常值主导，数据脏的时候会给出误导性的结论。
- 「MSE 可以直接汇报」——单位是平方，没人看得懂，只适合当优化目标。
- 「MAPE 最公平」——真实值接近 0 时会爆炸，且对高估低估不对称。
自测三问（点开对答案）
1. MAE 和 RMSE 的公式差别是什么？ —— MAE 对误差取绝对值再平均，RMSE 对误差平方再平均再开根号。 2. 为什么异常值对 MSE 的影响远大于 MAE？ —— 平方放大了大误差：误差翻十倍，平方项翻一百倍，平均值被一个点主导。 3. MAPE 在什么情况下会出问题？ —— 真实值接近 0 时相对误差会爆炸，而且它对低估和高估的惩罚不对称。误差是回归的指标。下一节回到分类，讲一个能同时看所有阈值的工具：ROC 曲线。
- ☐ （本节完，下一节 9.1.5 ROC曲线：显示不同分类阈值下模型的性能）