一、按面积摊水，看着最公平

灌溉用水按亩分配，几乎是不需要讨论的规矩：谁家地多，谁家水多。 它公平、透明、好执行，而且不需要知道任何一块地的产量函数。 问题是它假设「每块地对水的反应一样」。 而真实的地千差万别：有的地给一点水就增产很多，有的地灌满了也就那样。 平均分等于把水浇在了不需要它的地方。 而且这种浪费是静默的——没有哪块地会喊「我水太多了」，只有总产量比预期低一点。 Demo 造 8 块地，面积共 138 亩，总水量 12000 立方米（亩均 87）。 每块地有自己的产量上限 aa 和半饱和参数 bb，产量是 aa 乘（1 减 exp（负亩均水深除以 bb））。 然后比三种分法：按面积摊、每块平均、按边际收益贪心。 贪心的规则只有一句：每次把下一单位水，给当前边际收益最大的那块地。

二、三种分法的差距在哪

三、公平和效率的正面冲突

如果只看总产量，贪心显然最优。 但现实中没人敢直接这么分水。 因为第 8 块地的主人会问：凭什么我的亩均只有 31，别人有 140？ 这个问题没有技术答案，它是分配制度问题。 所以真实的做法通常是「效率改进 + 公平约束」两段式： 先按规则分基础水量（保证公平），剩下的增量水按边际收益竞价或分配。 这也是水权交易、碳排放权交易、频谱拍卖的共同结构： 初始分配讲公平，再分配讲效率。 把两件事混在一次分配里做，两边都不满意。 还有一个务实的方向：把「公平」定义成「结果的公平」而不是「投入的公平」。 按面积分水是投入公平；如果改成「保证每块地的总产量不低于某个水平」， 那才是结果公平——而它在数学上允许亩均水量差好几倍。

四、落地：贪心只要一句规则

那个贪心算法只有一句规则：每次把下一单位水，给当前边际收益最大的那块地。 它不需要解方程，也不需要知道全局最优的形式，只要能算出「下一单位能多打多少粮」。 这条规则在工程上极其好用，因为它可以在线执行： 水是陆续到的，每来一批就按当前边际收益分一次，不需要事先知道总水量。 而最优解（等边际）需要全局信息才能算。 代价是精度：Demo 里贪心用 20 立方米一步，步长越细越接近最优，但计算量也越大。 实用上 8 块地、20 立方米一步只要几千次计算，可以忽略。 最后一句：边际思维在工程上的样子就是这句话—— 不要问「总共该给多少」，要问「再给一单位，谁最划算」。 前者要全局信息，后者只要一条曲线。

五、动手 Demo：灌溉分配：按面积摊水只有最优的 93%，少打 625 吨粮

造 8 块地（面积共 138 亩，各块产量上限与半饱和参数不同），总水量 12000 立方米。 产量按「aa 乘（1 减 exp（负亩均水深除以 bb））」算。 比较三种分法：按面积摊、每块地平均、按边际收益贪心（20 立方米一步），再对比最小与最大亩均水深。

def prod(w):                 # w 是每块地的总水量
    depth = w / area
    return aa * (1.0 - np.exp(-depth / bb))

w_greedy = np.zeros(m)
left = W
while left > 1e-9:
    stepv = min(step, left)
    cur = prod(w_greedy)
    g = (np.diag(prod(w_greedy + eye * stepv)) - cur) / stepv
    w_greedy[int(np.argmax(g))] += stepv   # 给边际收益最大的
    left -= stepv

实跑输出：

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灌溉分配：按面积摊水只有最优的 93%，少打 625 吨粮
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  地块                     8 块，面积共 138 亩
  总水量                   12000 立方米（87 亩均）
  产量响应                 上限 aa 乘（1 减 exp（负亩均水深除以 bb））
  分水粒度                 每步 20 立方米

  分配方式         最小亩均   最大亩均   总产量   相对最优
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  按面积摊               87         87     8441      93.1%
  每块平均               38        188     8731      96.3%
  按边际收益贪心         31        140     9066     100.0%

  **按面积摊水看着最公平：每亩地都拿 87 立方米，一模一样。**
  **但总产量只有最优方案的 93.1%，少打 625 吨。**
  **为什么？因为每块地的响应曲线不一样。**
  **有的地给一点水就增产很多，有的地灌满了也就那样。**
  **平均分等于把水浇在了不需要它的地方。**
  最能说明问题的是第 8 块：**它 40 亩，按面积摊分到 3478 立方米。**
  **但这块地的亩产上限只有 30 公斤，亩均水深过了 20 就基本没用了。**
  **贪心只给它 1240 立方米，省下的全挪给别的地。**
  看亩均那一列：**按面积摊是 87 到 87，完全均等；**
  **贪心是 31 到 140，差了 4.5 倍。**
  **最优方案让亩均水量差出 4.5 倍——差的那几块，给水不划算。**
  有意思的是「每块平均」：**它连面积都没看，反而比按面积摊高（96.3% 对 93.1%）。**
  **因为它给每块地一样多的水，面积大的第 8 块自然就少拿了——**
  **误打误撞避开了那块低产地。这是运气，不是方法。**
  **这就是「公平」和「效率」的正面冲突。**
  **在灌溉、电力、带宽、预算分配里，这是同一个数学问题。**
  那个贪心算法只有一句规则：**每次把下一单位水，给当前边际收益最大的那块地。**
  **它不需要解方程，也不需要知道全局最优的形式，只要能算出「下一单位能多打多少粮」。**
  **这就是边际思维在工程上的样子：**
  **不要问「总共该给多少」，要问「再给一单位，谁最划算」。**
  要说明：地块面积、响应曲线参数都是我**设的**。
  **真实灌溉还要考虑输水损耗、地形、轮灌周期、盐碱化。**
  **但「平均分配次优、边际均衡最优」这条结论不依赖具体参数。**

这张表最容易被误读的是「每块平均 96.3% 比按面积摊 93.1% 高」。 别把它当成方法有效——它只是恰好躲开了低产地。 换一套地块参数，它就会变成最差的那个。 真正稳的是贪心，因为它的依据是每块地自己的边际曲线，而不是任何「平均」的假设。 第 8 块那个数字最值得记住：按面积摊给它 3478 立方米，贪心只给 1240。 差出来的 2238 立方米，在别的 7 块地上能多打几百吨粮。 这就是「平均」的隐性成本——它不产生任何报错，只是少收了粮。 亩均 31 到 140 这个跨度，是这套方案的「政治成本」。 技术上越优的方案，分配上越难看——这是所有资源分配问题的通病。 要说明：地块面积、响应曲线参数都是我设的。 真实灌溉还要考虑输水损耗、地形、轮灌周期、盐碱化。 但「平均分配次优、边际均衡最优」这条结论不依赖具体参数。

30 秒实验

1. 把地数从 8 块加到 20 块，看按面积摊的相对水平。 会更低——块数越多，「有一块低产地」的概率越大，平均分的浪费也越大。
2. 把所有地块的参数设成完全一样，再看三种分法。 三者总产量会相同——这说明差距完全来自「地块异质性」，而不是算法本身。
3. 改步长：20、5、1 立方米各跑一次，看贪心总产量怎么变。逐步上升但很快收敛； 1 立方米和 20 立方米的差距不到 0.5%，说明这套问题的粗粒度贪心已经够用。

常见误区

1. 「按面积分水最公平，所以最优」。公平和最优是两件事；按面积摊总产量只有最优的 93.1%。
2. 「每块地平均分也不差」。它这次 96.3% 纯属运气，因为它连面积都没看。
3. 「亩均水量应该差不多，差太多说明分得不合理」。 最优方案故意让亩均差 4.5 倍——差的那几块给水不划算。

水肥都分完了。最后一节换个角度：不是「怎么种」，是「种出来卖给谁、备多少货」。 而备货量的答案，不在预测里，在赔率里。

• ☐ （本节完，下一节 12.3.3 供应链创新）

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