计算机不会算数，它只会开关。 加法是用几个开关（逻辑门）搭出来的电路：异或门算本位，与门算进位。 减法也不是单独的电路 —— 把减数取补码，减法就变成加法，一套电路干两件事。 [!tip] 承接前两篇 - [[01 二进制原理入门]]：0 和 1 是什么 - [[02 信息的数字化表示]]：真实世界怎么变成 0 和 1 - 本篇：这些 0 和 1 进去之后，电路怎么把它们算出来
1. 先搞懂一个前提：电脑没有"数字"，只有"电压"
| 你以为电脑里的 | 实际在电路里的 |
|---|---|
数字 1 |
一根导线上的高电压（如 3.3V） |
数字 0 |
一根导线上的低电压（约 0V） |
| 加法 | 几个开关按规则互相控制 |
逻辑门（Logic Gate） 就是这样一个"看输入电压、决定输出电压"的小电路。
逻辑门没有智能。它只是一个物理器件： 输入端电压满足某个条件，输出端就给出对应电压。 所谓的"计算"，就是电流在几百个门里按固定路线跑一遍的结果。
2. 四个基本逻辑门
| 门 | 口诀 | 真值表（A B → Y） |
|---|---|---|
| 与门 AND | 全 1 才出 1 | 0 0→0 0 1→0 1 1→1 |
| 或门 OR | 有 1 就出 1 | 0 0→0 0 1→1 1 1→1 |
| 非门 NOT | 反过来 | 0→1 1→0 |
| 异或门 XOR | 不一样才出 1 | 0 0→0 0 1→1 1 1→0 |
把它的真值表和我们小学的加法对比一下：
| 算式 | 本位结果 | 异或门输出 |
|---|---|---|
| 0 + 0 = 0 | 0 | 0 ✅ |
| 0 + 1 = 1 | 1 | 1 ✅ |
| 1 + 0 = 1 | 1 | 1 ✅ |
| 1 + 1 = 10 | 本位 0 | 0 ✅ |
完全一致。 异或门天生就是"加法本位"的电路。 [!note] 用一句话描述异或门 "两个输入不一样，输出 1；两个输入一样，输出 0。" 这个动作在数学上叫"模 2 加"（不进位加法）。
3. 半加器：两个门拼出"1 位加法"
现在解决进位问题。1 + 1 时本位是 0，但要多出一个 1 送给高一位。这个"多出来的 1"什么时候出现？
只有当 A 和 B 都是 1 的时候才出现 —— 这正是与门。
| 算式 | 本位（异或门） | 进位（与门） |
|---|---|---|
| 0 + 0 | 0 | 0 |
| 0 + 1 | 1 | 0 |
| 1 + 0 | 1 | 0 |
| 1 + 1 | 0 | 1 ✅ |
异或门 + 与门 = 半加器（Half Adder）
它只有两个输入 A、B。可是做 8 位加法时，每一位还要接收来自低位的进位。 半加器没有这个入口 —— 所以它只能当"半成品"，名字也由此而来。
4. 全加器：真正能用的一位加法器
给半加器补上一个进位输入口，就是全加器（Full Adder），输入变成三个：A、B、Cin（低位进位）。
电路怎么搭
本位 S = A ⊕ B ⊕ Cin （两个异或门串联）
进位 Cout = A×B 或 (A⊕B)×Cin （两个与门 + 一个或门合并）
什么时候要往上进位？两种情况：
1. A 和 B 都是 1（A×B）
2. A、B 里有一个是 1，同时低位也送来了进位（(A⊕B)×Cin）
任一种发生，就该进位 —— 所以最后用或门把两路合并。
完整真值表（8 种情况，只有 8 行）
| A | B | Cin | → | Cout | S | 含义 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0+0+0 = 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0+0+1 = 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0+1+0 = 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0+1+1 = 2 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1+0+0 = 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1+0+1 = 2 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1+1+0 = 2 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1+1+1 = 3 |
A=0, B=1, Cin=1 → 0+1+1 = 2 → 二进制 10 → Cout=1, S=0 ✅
注意看：Cout 和 S 拼起来正好是两倍的 S 位的权。这说明电路算得没错。
5. 串起来算多位：行波进位加法器
一位不够用。要算 8 位、32 位，就把全加器并排串起来：
[FA bit7] ← [FA bit6] ← ... ← [FA bit1] ← [FA bit0]
↑ ↑ ↑ ↑
进/出 进/出 进/出 Cin = 0
- 最低位（bit0）的 Cin 固定接 0（没有更低的位了）
- 每一位的 Cout 接到左边高一位的 Cin
- 进位像波浪一样从右往左传 → 所以叫行波进位（Ripple Carry）
实例：算 5 + 3
0 0 0 0 0 1 0 1 ← 5
+ 0 0 0 0 0 0 1 1 ← 3
─────────────────
0 0 0 0 1 0 0 0 ← 8
↑
bit1 上 1+1 产生进位，传给 bit2
最高位的结果，必须等进位从最低位一路"爬"上来才知道。
32 位加法，最坏情况要等 32 个门依次翻转。
现代 CPU 用超前进位（Carry Look-ahead） 优化：直接由 A、B 一次性算出各级进位，不再排队等 —— 这就是现在一秒钟能算几十亿次加法的原因。
[!success] 乘法怎么办？
乘法就是加法的重复。 5 × 3 = 5 + 5 + 5。
CPU 用"移位 + 加法"实现：把乘数拆成 2 的幂次组合，每次左移一位（相当于 ×2）再决定加不加。
所以 CPU 里可以没有乘法器，但一定有加法器。
6. 减法：不用新电路，取个补码就行
这是整个设计里最漂亮的一招。
为什么要用补码？
如果给减法单独造一套电路，那 CPU 里就要有加法器 + 减法器 + …… 能不能让减法蹭加法器的车？
关键：如果能找到 −3 的一个二进制写法，让 7 + 它 的结果正好是 4，那就成了。
补码的求法：按位取反，再加 1
以 8 位、求 −3 为例：
3 = 0 0 0 0 0 0 1 1
按位取反 = 1 1 1 1 1 1 0 0
+1
───────────────────
−3 的补码 = 1 1 1 1 1 1 0 1
用加法器验证：7 + (−3)
0 0 0 0 0 1 1 1 (7)
+ 1 1 1 1 1 1 0 1 (−3 的补码)
───────────────────
1 0 0 0 0 0 1 0 0 ← 多出第 9 位
把最高位溢出的 1 直接丢弃 → 剩下 00000100 = 4 ✅
因为 8 位电路"装不下"第 9 位，溢出部分自动消失。
这是补码设计的精妙之处：溢出的丢弃不是错误，而是设计好的机制。
换句话说，"减 3"和"加 245"（11111101 的十进制值）在 8 位电路里是同一件事。
减法秒变加法的操作
| 要算 | 实际让加法器算 |
|---|---|
A − B |
A + (−B 的补码) |
所以一个 8 位加法器，只要在 B 的输入端加一排非门（把 B 取反）再让 Cin = 1（完成"+1"），同一套电路立刻能算减法。
一半的数分给负数（最高位当符号位），所以正数只剩 0~127。
7. 一图总结：从电压到加法
电压高低 → 逻辑门（0/1 的规则） → 一位全加器 → 多位加法器 → 减法/乘法
高=1 低=0 与门·或门·非门·异或门 异或算本位 串联 + 进位 补码 / 移位
与门算进位
| 层级 | 做什么 | 关键点 |
|---|---|---|
| 电压 | 表示 0 和 1 | 只有两档，抗干扰 |
| 逻辑门 | 0/1 的运算规则 | 无智能，纯物理开关 |
| 全加器 | 一位加法 | 异或管本位，与门管进位 |
| 多位加法器 | 多位加法 | 进位逐级传递（行波） |
| 加减乘 | 全都归到加法 | 补码 + 移位 |
计算机的"计算能力"，本质上是从"开关"里长出来的。 没有魔法，只有一层层搭起来的规则。
8. 常见误区自查
- "CPU 会算数" —— CPU 不会，它只会让电流穿过一堆门电路。
- "减法需要单独的电路" —— 不需要，取补码后走加法器，溢出丢弃即可。
- "溢出丢弃是 bug" —— 是设计。正因为丢弃，
A + (−B 补码)才能等于A − B。 - "乘法是专门的乘法电路" —— 本质是移位 + 重复相加。
- "半加器和全加器只是名字不同" —— 差一个进位入口，全加器才能串联成多位。
- "进位是瞬间传完的" —— 行波进位要排队传，这是老式加法器的主要瓶颈。
9. 自测题（先自己算，再点开答案）
因为本位由异或门决定，而"两个输入一样时异或门输出 0"。
1+1=10，本位上确实应该写 0，那个 1 交给进位。
[!question]- Q2. 进位 Cout 什么时候是 1？
两种情况：A 和 B 都是 1；或者 A、B 中有一个是 1 且低位送来了进位。
对应公式 Cout = A×B 或 (A⊕B)×Cin。
[!question]- Q3. 用 8 位补码算 10 − 4，写出过程。
−4 的补码：00000100 → 取反 11111011 → 加 1 → 11111100
10 = 00001010
00001010 + 11111100 = 1 00000110
丢弃溢出的最高位 → 00000110 = 6 ✅
[!question]- Q4. 8 位有符号整数能表示的范围是多少？为什么？
−128 ~ 127。
最高位拿来当符号位，剩下 7 位表示大小；正数占 0~127，负数占 −128~−1。
[!question]- Q5. 为什么 CPU 里不需要"减法器"？
因为 A − B 可以改写成 A + (−B 的补码)，
用同一个加法器配合"取反 + Cin=1"就能完成，省掉一整套电路。
10. 下一步学什么
- [x] 实现"电路计算"之路 → 已写成 04 实现电路计算之路（布尔 → 香农 → 晶体管 → 芯片，门是用什么造的）
- [ ] CPU 是怎么工作的 —— 运算器、控制器、寄存器、时钟（五大部件）
- [ ] 时钟与频率 —— 为什么 CPU 要"滴答"着走，3GHz 是什么意思
- [ ] 内存与存储 —— 这些算出来的数存在哪，为什么关机就没了
- [ ] 逻辑运算的实际用途 —— 掩码、权限位、位图（
chmod 755为什么是 7） - [ ] 浮点数 —— 小数怎么算，为什么
0.1 + 0.2 ≠ 0.3
相关笔记
- 04 实现电路计算之路 → 下一篇：这些门是用什么器件造的、这条路谁铺通的
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