一、先把二进制搬回来

回看 2.2.1：同一个数有四种进制写法，二进制前缀 0b。位运算的工作台就是二进制：

5 = 0b101
3 = 0b011

位运算的操作流程：把两个数的二进制右对齐（像列竖式），然后一位对一位独立地算——每一位的结果只看这两位，跟隔壁位无关。这和十进制加法"满十进位"完全不同——位运算没有进位。

二、四个符号逐个演

以 5 = 101、3 = 011（右对齐）为例：

& 位与——双 1 才出 1（串联开关）

  101   (5)
& 011   (3)
-----
  001   → 5 & 3 = 1

每一竖列：1&1=1，0&1=0，1&1=1 → 结果 001。只有两位都是 1，那一位才是 1——像串联电路，两个开关都闭合灯才亮。

| 位或——有 1 就出 1（并联开关）

  101   (5)
| 011   (3)
-----
  111   → 5 | 3 = 7

任何一位有 1，结果那位就是 1。注意：位运算的 | 跟逻辑的 || 长得像但完全两码事（区别见误区 3）。

^ 异或——不同才出 1

  101   (5)
^ 011   (3)
-----
  110   → 5 ^ 3 = 6

两位相同（1,1 或 0,0）出 0，不同出 1。两个好记的性质：a ^ a = 0（自己跟自己全同）、a ^ 0 = a（0 不改变任何位）。用途：把某些位翻转、简易加密（同一把"钥匙"再异或一次就还原）。

~ 位反——整排全翻转（一元）

~5 把 5 的所有二进制位 0↔1。注意 int 是 32 位，前面还有一大串 0 也一起翻成 1，而最高位翻成 1 后按补码解读就是负数——~5 的结果是 -6。现阶段不用深究补码细节，记住"~ 是全翻转、对 int 结果是负的"即可。

三、位运算的真实用途：掩码（mask）

& 最重要的用途是掩码——用一个精心挑的数，去"筛"另一个数的某些位：

// 判断奇偶：n & 1
// 任何数 & 1，只保留最低位：最低位是 1 就是奇数
cout << (7 & 1) << endl;    // 1 → 奇
cout << (8 & 1) << endl;    // 0 → 偶

// 取低 4 位：n & 0xF
int n = 0b10110110;
cout << (n & 0xF) << endl;  // 0b0110 = 6，高 4 位被筛掉

为什么 & 能筛位？掩码里为 0 的位置，& 完必为 0（被关掉）；掩码里为 1 的位置，原样放行。这就是嵌入式、图形处理、权限标记天天用的操作。教材实例 02 演示的就是这一套。

四、动手 Demo：教材实例02 的思路复现

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a = 5, b = 3;
    cout << "a & b = " << (a & b) << endl;   // 1
    cout << "a | b = " << (a | b) << endl;   // 7
    cout << "a ^ b = " << (a ^ b) << endl;   // 6
    cout << "~a    = " << (~a) << endl;      // -6

    // 掩码三连
    int n = 13;                               // 0b1101
    cout << "奇偶 " << (n & 1) << endl;      // 1（奇）
    cout << "低2位 " << (n & 3) << endl;     // 1（0b01）
    int flag = n | 0b10;                      // 把第 2 位置 1：1101 | 0010 = 1111
    cout << "置位后 " << flag << endl;       // 15
    return 0;
}

看到什么算成功：1 7 6 -6 1 1 15。每行都建议先在纸上手算，再跟输出对——位运算全靠手感，手感靠手算。

30 秒实验：n ^ n 输出 0，n ^ 0 输出 n 本身——亲手验证"异或自反"性质；再把 n | 0b10 换成 n & ~0b10，看第 2 位被清 0（置位用 |、清位用 & ~，一对好搭档）。

五、常见误区

1. "位运算结果看起来乱七八糟"——不是乱，是你在用十进制看二进制的操作。先写二进制竖式，一切都有迹可循。
2. "5 & 3 等于 5 && 3"——不等！5 && 3 是逻辑且：两个都非 0，结果是 1；5 & 3 是位与：按位算，结果是 1——这回碰巧相等，但 5 & 2 = 0 而 5 && 2 = 1。逻辑判断用双写，位操作用单写。
3. "~5 应该等于 2"（只翻 101 的三位）——~ 翻转的是全部 32 位，包括前导的 29 个 0。
4. "n & 1 判奇偶是炫技"——是惯例。n % 2 对负数的余数符号要操心，n & 1 永远只看最低位，结果非 0 即奇。两个都认识，位运算版更快更稳。

• ☐ 3.1.6 移位运算符（下一节，含实例03）

相关笔记

• 逻辑运算符 —— && 与 & 的区别现场
• 整型常量 —— 二进制写法 0b 前缀
• 整型变量 —— 补码与符号位的后话