总体客单价跌了 3%，拆成四个细分，每一块都在涨。这不是算错，是权重变了。 这种「每一块都在涨、合起来在跌」的现象叫辛普森悖论，它是数据里最常见的陷阱之一。 这一篇讲怎么发现它、怎么解释它，以及什么时候该怀疑自己的总体结论。
上一篇给模型加了「不知道」这一层。 这一篇往下挖数据本身：同一个平均值的背后，可能藏着完全不同的结构。 第 9 章（直方图）会把「看结构」变成看图，第 11 章（误差）会把它变成「分割数据」。
一、第一版结论通常是错的
Acme 的客单价从 134.80 跌到 130.81，跌 3.0%。报告写到这里，结论是「客户买得越来越便宜」。 这句话有两个问题：一是它把「平均」当成了「每个人」；二是它默认了客户结构没变。 第二个问题最要命，因为客户结构恰恰是最容易变的东西。
二、拆成四格再看
按渠道乘产品线切成四格，每格算自己的均价，再看每格占多大份额——
| 细分 | 2014 均价 | 2015 均价 | 份额变化 |
|---|---|---|---|
| 线下彩妆 | 148.00 | 152.44 | 35% → 18% |
| 线下护肤 | 121.00 | 124.63 | 10% → 8% |
| 线上彩妆 | 142.00 | 146.26 | 25% → 14% |
| 线上护肤 | 118.00 | 121.54 | 30% → 60% |
四格全都涨了 3.0%。可加权平均在跌。
三、加权平均的真相
总体均价不是四格均价的简单平均，是「各格均价乘各格份额」再相加。 2014 年是 0.35×148 + 0.10×121 + 0.25×142 + 0.30×118 = 134.80。 2015 年份额换成了 18／8／14／60，最便宜的那格（线上护肤 118 元）从三成涨到六成， 于是加权平均被拽到 130.81。
每一格都在涨，合起来在跌——因为客户跑到便宜的那一档去了。
四、辛普森悖论
这个现象有名字：辛普森悖论。 它的条件是「分组的结果和总体的结果方向相反」，而根源是各组权重在两次比较之间变了。 它不是数学诡计，是真实世界的常态。 营销把低价产品推给新客、医院把轻症分到新病区、学校把好学生集中到重点班，都会造出这种东西。 判断有没有中招，一个简单的自查：把数据按可能的「结构变量」分组，看组内方向和总体方向是否相反。
五、什么时候该怀疑总体
三个信号：总体变化幅度很小而各细分变化很大；总体的构成在两年间明显移动； 有人汇报「我们这块明明在涨，为什么公司整体在跌」。 出现任何一个，就该停下来拆一遍。拆完再写结论，报告的可信度会完全不同。
六、动手 Demo：深入挖掘：总体在跌，每一块都在涨
下面这段代码把四个细分、两套份额摆开，先算总体，再算加权平均，最后对比。 留意输出里「四个细分全涨 3%」和「加权平均跌 3%」这两行并排出现的样子。
segs = [
# 名称, 2014 均价, 2014 份额, 2015 份额
('off-makeup', 148.00, 0.35, 0.18),
('off-skin', 121.00, 0.10, 0.08),
('on-makeup', 142.00, 0.25, 0.14),
('on-skin', 118.00, 0.30, 0.60),
]
for name, p14, w14, w15 in segs:
p15 = p14 * 1.03 # 每一格都涨 3%
print('%-11s %.2f -> %.2f %+.1f%% 份额 %d%% -> %d%%'
% (name, p14, p15, 3.0, w14 * 100, w15 * 100))
a = sum(p * w for _, p, w, _ in segs)
b = sum(p * 1.03 * w for _, p, _, w in segs)
print('加权平均 %.2f -> %.2f %+.1f%%' % (a, b, (b / a - 1) * 100))
实跑输出：
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深入挖掘：总体在跌，每一块都在涨
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① 先看总体
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Acme 的客单价：2014 年 134.80 元，2015 年 130.81 元。
跌了 3.0%。报告写到这里，结论是「客户买得越来越便宜」。
② 拆成四个细分再看
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| 细分 | 2014 均价 | 2015 均价 | 变化 | 14 份额 | 15 份额 |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| 线下彩妆 | 148.00 | 152.44 | +3.0% | 35% | 18% |
| 线下护肤 | 121.00 | 124.63 | +3.0% | 10% | 8% |
| 线上彩妆 | 142.00 | 146.26 | +3.0% | 25% | 14% |
| 线上护肤 | 118.00 | 121.54 | +3.0% | 30% | 60% |
加权平均：134.80 → 130.81（-3.0%）
! 四个细分全在涨（都涨了 3%），加权平均却在跌 3.0%——
因为客户跑去了便宜的那一档：线上护肤的份额从 30% 涨到 60%。
③ 这就是辛普森悖论
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每一块都在涨，合起来在跌。不是算错，是权重变了。
总体的平均数，是「各块的值」乘「各块的份额」再相加——
份额一动，平均数就跟着动，跟你每块做得好不好没关系。
④ 所以该往哪挖
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「客户买得越来越便宜」是错的结论。
对的是：客户没变抠，是客户结构变了——线上护肤拉来了大批新客，
这批人本来就买便宜货。
! 挖到能推翻自己第一版结论的那一层，才算真的挖过。
这段代码里「每格涨 3%」是写死的，而加权平均是算出来的——两者方向相反，不是 bug。 自己动手改一下份额（比如把线上护肤从 60% 改回 30%），方向立刻就翻过来了。
30 秒实验
- 把线上护肤的 2015 份额从 60% 改成 30%，加权平均变成涨还是跌？
- 让四格涨幅不一样（148 那格涨 5%，118 那格涨 1%），看总体方向会不会变。
- 想一想：如果只按渠道切两层，能不能发现这个问题？
常见误区
- 把平均当个体：「平均客单价跌了」不等于「每个客户花得更少了」。
- 只看总体不看结构：结构一变，总体就会撒谎，而且撒得毫无痕迹。
- 分组后忘了看份额：只看组内均价会得出「全面向好」，那份额的变化就被掩盖了。
- 把辛普森悖论当借口：不是所有反直觉的结果都是它，先确认权重真的变了。
自测三问（点开对答案）
1. 辛普森悖论成立的必要条件是什么？ —— 各组权重在两次比较之间发生了变化，且变化方向与组内趋势相反。 2. 为什么四格都涨 3%，加权平均却跌 3%？ —— 份额从贵的格子移到了便宜的格子。价格都涨了，但客户结构变了，平均被拉低。 3. 发现总体和细分方向相反，报告该怎么写？ —— 两个都写，并说明结构变化。只写一个，不管写哪个，都是在掩盖一半事实。分析做到这一步，结论已经有了。 可客户要的不是结论，是一个决定——下一篇讲怎么把分析收成一句话的下一步。
- ☐ （本篇完，下一篇 1.7 回顾工作与英明的决策）