散点图只回答一个问题：这两个量有没有一起变大。它给方向，不给数。 平均值图形把横轴切段、段内取平均，六个平均从 4.58% 一路升到 9.22%，趋势就露出来了。 但折线是断的，只能给六个档的答案；要给 73 分的答案，得有一条连续的线。
上一篇用分档把误差降到 1.00，代价是台阶。这一篇先把数据摊开看，再想办法抹平台阶。 书里这段用 Excel 画散点图。这台机器上没有 Excel，用 matplotlib 画，逻辑一样。
一、先把两个变量摆在一张图上
横轴放绩效点数，纵轴放加薪幅度，一个人一个点，60 个点撒在平面上。 这张图不计算任何东西，它只是把两张表并成一张图。 但它一眼就能回答一个之前回答不了的问题：这两个量是不是一起动。
这 60 个点从左下往右上走——分数高的人，加薪幅度也偏高。方向有了。 散点图的第一价值是「有没有关系」，不是「关系有多强」。后者要靠数。
二、散点图能说的和不能说的
能说三件事：方向（往上还是往下）、形状（直不直、弯不弯）、散布（点贴着还是散着）。 不能说三件事：斜率到底多少、预测误差多大、某一个人该加多少。 很多人看着散点图就下结论，其实只完成了「看」，还没开始「量」。
这里还有一层：点云的形状大致是直的，没有明显的弯。这个判断很重要—— 如果点云是弯的，后面那条直线就会两头都错。直线模型的前提是「大致线性」。
三、平均值图形：横轴切段，段内取平均
散点太密，看不出趋势的具体形状。一个办法是切段取平均。 把 40 到 96 切成六段，每段算一个平均加薪幅度，得到六个点，连起来成一条折线。 六个平均：4.58%、5.78%、6.77%、7.20%、8.04%、9.22%。
每一段都比上一段高，一次都没有回头。这是「单调上升」最直接的证据。 这条折线比散点干净得多，因为它把段内的散布平均掉了，只留下段与段之间的差别。
四、平均值图形好在哪，差在哪
好在：它把「趋势」和「散布」拆成了两件事。趋势看折线怎么走，散布看每一段点的高低差。 看表就知道：40~50 那一段，最低 3.4%、最高 6.7%，跨度 3.3 个点；而六段平均只差 4.6 个点。 也就是说，同一档内部的人差得和不同档之间差不多。这句话是后面误差分析的伏笔。
差在：段边界是画图人划的。换六个边界，折线就换一个形状——这跟第 9 章的箱宽一模一样的毛病。 还有一个更硬的毛病：折线是断的。73 分的人，折线上根本没有对应的点。
五、它还差一步
要回答「73 分该加多少」，需要一条能对任意分数给值的线。 而且要一条尽量贴合这 60 个点的线，不是随手画的。 「尽量贴合」这句话听着含糊，其实可以写成一个精确的条件：让所有点的竖直距离的平方和最小。
下一篇就按这个条件把线算出来。这一步是从「看图」到「建模」的分界。
六、动手 Demo：散点图与平均值图形
60 个点撒在平面上，再切六段算平均，把六个平均连成折线。 两张图都存成 PNG，顺便把六个平均和每段的跨度打出来。
import os
import matplotlib
matplotlib.use("Agg")
import matplotlib.pyplot as plt
S = [20261102]
def rnd():
S[0] = (S[0] * 1103515245 + 12345) % 2147483648
return S[0] / 2147483648.0
DATA = []
for i in range(60):
x = 40 + int(round(i * 55 / 59.0))
y = 1.2 + 0.085 * x + (rnd() - 0.5) * 3.2
DATA.append((x, round(y, 1)))
XS = [d[0] for d in DATA]
YS = [d[1] for d in DATA]
BINS = [(40, 50), (50, 60), (60, 70), (70, 80), (80, 90), (90, 96)]
for lo, hi in BINS:
seg = [y for x, y in DATA if lo <= x < hi]
print("%2d~%2d 人数 %2d 平均 %.2f%% 跨度 %.1f"
% (lo, hi, len(seg), sum(seg) / len(seg), max(seg) - min(seg)))
fig, ax = plt.subplots(figsize=(5.0, 3.2), dpi=110)
ax.scatter(XS, YS, s=14, color="#4a6fa5", alpha=0.8)
ax.set_xlabel("performance points", fontsize=8)
ax.set_ylabel("raise percent", fontsize=8)
ax.set_title("60 records: points vs raise", fontsize=9)
fig.tight_layout()
fig.savefig("scatter.png")
plt.close(fig)
print("散点图 %d 字节" % os.path.getsize("scatter.png"))
实跑输出：
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散点图与平均值图形
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① 把两个变量摆在一张图上
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横轴放绩效点数，纵轴放加薪幅度，一个人一个点。60 个点，就是散点图。
散点图只干一件事：看这两个量有没有一起变大。
点云从左下往右上走，说明分数高的人加薪也多——方向有了。
② 点云告诉你的和没告诉你的
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告诉了：整体趋势是向上的，而且大致是直的，没有明显拐弯。
没告诉：具体斜率是多少，误差有多大，某个人该加多少。
所以散点图是「先看一眼」，不是「得出结论」。
! 散点图只能看趋势，不能读数。要读数，得在它上面压一条线。
③ 平均值图形：把横轴切段，段内取平均
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把 40~96 切成六段，每段算一个平均加薪幅度，把这六个点连起来。
这条折线比散点干净得多：它把每段内部的散布平均掉了，只留下段与段之间的差别。
六个平均分别是 4.58%、5.78%、6.77%、7.20%、8.04%、9.22%。
每一段都比上一段高，没有哪一段掉下去——这就是「单调上升」的直接证据。
④ 平均值图形好在哪，差在哪
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好在：它把「趋势」和「散布」拆开了。趋势看折线，散布看每段的高低差。
差在：段边界是我划的。换六个边界，折线就换一个形状。这跟第 9 章的箱宽是同一个毛病。
还有：折线是断的，只能给出六个档的答案，给不出 73 分该加多少。
⑤ 图存下来
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散点图存成 PNG：16790 字节。
平均值图形存成 PNG：19203 字节。连线是六个档的平均，点还是原来那 60 个。
六段的平均是单调上升的，但每一段内部跨度都在 2.5 到 3.3 个点之间——段内的差别不小于段间的差别， 这是这条折线说不清的地方。 图里的字用英文：这台机器没装中文字体，中文会变成一排方框。
30 秒实验
- 把六段改成三段（40~60、60~80、80~96），折线会变成什么形状？趋势还看得出来吗？
- 把段边界改成按人数等分（每段 10 人），六个平均会怎么变？
- 想一想：如果散点图上的点云是弯的（比如先升后降），用一条直线去拟，错在哪儿？
常见误区
- 看散点图就报结论：散点图给方向，不给斜率和误差。要报数就得算。
- 用折线代替模型：折线只能给固定几档的答案，档与档之间没有定义。
- 忽略段内跨度：只看六个平均一路向上，会误以为这关系很干净。实际段内差得一样多。
- 随手画一条「看着差不多」的线：不写清「怎么算最贴合」，线就没法复现，也没法评价。
自测三问（点开对答案）
1. 散点图能回答什么、不能回答什么？ —— 能回答方向、形状、散布；不能回答具体斜率、预测误差、某一个人的取值。 2. 平均值图形为什么比散点图好读？ —— 因为它把段内的散布平均掉了，只留下段与段之间的差别。代价是段边界要人来定。 3. 为什么说「段内差别不小于段间差别」是个警告？ —— 说明分数只解释了一部分差异。剩下那一部分，任何只用分数的模型都盖不住。折线是断的，要连续的线就得定一个「最贴合」的标准。下一篇把它写成一个能算的条件。
- ☐ （本篇完，下一篇 10.3 回归线能预测什么）