「我想多拿钱」不是一句能回答的话，换成「绩效点数和加薪幅度是什么关系」才是。 预测的本质就是找一个能把 x 变成 y 的式子。最笨的式子是常数，误差 1.72 个百分点。 按分数分六档取平均，误差降到 1.00，降了 41.9%——分数确实带着信息，但分档有台阶。
第 9 章处理「一堆数怎么先看形状」。第 10 章换一个目标：从一个量预测另一个量。 这一章的 60 条记录是假数据，用自带的线性同余发生器造的。 不调 random 模块，同一份代码跑一百遍，数一模一样——文里每个数都能自己复算。
一、把「我要加薪」变成一个能回答的问题
第 1 章那个动作，这里还要再做一遍：把手上的抱怨翻成一个能对着数据回答的问句。 「我想多拿钱」没法回答，因为它不含任何可以比较的东西。 换成这一句就好办：过去三年，绩效点数和加薪幅度之间是什么关系？
这个问法有两个好处：两个量都能拿到数，而且它们之间的关系可以算。 有了这层关系，就能反推一个式子出来：扔进一个点数，吐出加薪幅度。这就是加薪计算器。 预测的本质就是找一个能把 x 变成 y 的式子。难点不在写式子，在挑哪个式子。
二、第一版算法：一个常数
最笨的算法是：不看任何信息，所有人一律按平均加薪幅度加。 这 60 个人的平均是 6.76%。于是计算器对谁都吐 6.76%。 它当然错，但错得有一个可量的数：均方根误差 1.72 个百分点。
1.72 这个数不是随便来的——它就是加薪幅度自己的标准偏差（1.74，除以 n−1 的版本）的近似。 意思很直白：什么信息都不用，误差就等于这堆数本身的散布。 所以它是个基准线。后面任何一个算法，误差不比 1.72 小，就等于白算。
三、第二版：按分数分档
加一条信息：这个人的绩效点数落在哪一档。 把 40 到 96 切成六段，每段算一个平均加薪幅度，同段的人一律按该段平均算。 六段的平均分别是 4.58%、5.78%、6.77%、7.20%、8.04%、9.22%——一路往上，没有回头。
误差从 1.72 降到 1.00，降了 41.9%。这就是「分数有用」的量化版本。 注意这一步只加了一条规则、一个分档表，没有引入任何新数据。信息用对了，误差自己就下来了。
四、误差是怎么量出来的
每个点都有一个「实际值」和一个「预测值」，两者相减就是这次预测错了多少。 错有正有负，直接加起来会互相抵掉，看起来像没误差。所以先平方，把符号抹掉。 平方还有一个副作用：错得越多罚得越重。差 2 个点的处罚是差 1 个点的四倍。
全部平方加起来，除以个数，再开方——把量纲还原回「百分点」，这就是均方根误差。 它的读法是：平均而言，预测偏了这么多。不是「最多偏这么多」，也不是「保证不偏更多」。
五、分档的毛病：台阶
第二版有个躲不掉的毛病：档与档之间是台阶。 59 分和 60 分被分到两档，预测值从 4.58% 跳到 5.78%，一下子跳了 1.2 个百分点。 可现实里，59 分和 60 分差一分，加薪不可能差 1.2 个点。
原因是：分档把连续的分数切成了几块，块内的差别被抹平，块间的差别被放大。 要消掉这个台阶，就得让预测值随着分数连续地变。下一节先画图，看这条连续的线长什么样。
六、动手 Demo：加薪计算器的第一版和第二版
60 条记录：绩效点数 40 到 95，去年加薪幅度 2.5% 到 10.6%。 先算「一律取平均」的误差，再算「按分数分六档」的误差，两个数直接比。
S = [20261102]
def rnd():
S[0] = (S[0] * 1103515245 + 12345) % 2147483648
return S[0] / 2147483648.0
DATA = []
for i in range(60):
x = 40 + int(round(i * 55 / 59.0))
y = 1.2 + 0.085 * x + (rnd() - 0.5) * 3.2
DATA.append((x, round(y, 1)))
YS = [d[1] for d in DATA]
def rmse(a, p):
return (sum((u - v) ** 2 for u, v in zip(a, p)) / float(len(a))) ** 0.5
my = sum(YS) / len(YS)
print("平均加薪 %.2f%%" % my)
print("第一版 RMSE %.2f" % rmse(YS, [my] * len(YS)))
BINS = [(40, 50), (50, 60), (60, 70), (70, 80), (80, 90), (90, 96)]
pred = []
for x, y in DATA:
for lo, hi in BINS:
if lo <= x < hi:
seg = [b for a, b in DATA if lo <= a < hi]
pred.append(sum(seg) / len(seg))
break
r1 = rmse(YS, [my] * len(YS))
r2 = rmse(YS, pred)
print("第二版 RMSE %.2f" % r2)
print("降幅 %.1f%%" % ((r1 - r2) / r1 * 100))
实跑输出：
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加薪计算器的第一版和第二版
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① 把「我要加薪」变成一个能分析的题
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「我想多拿钱」不是一个能回答的问题。第 1 章那个动作，这里还要再做一遍。
换成一个能回答的问法：过去三年，绩效点数和加薪幅度之间是什么关系？
有了这层关系，就能反推出一个式子：给一个点数，吐出加薪幅度。这就是加薪计算器。
! 预测的本质就是找一个能把 x 变成 y 的式子。找法不止一种，好坏可以量出来。
② 第一版算法：所有人都一样
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最笨的算法：不看任何信息，所有人一律按平均 6.76% 加。
它的误差（均方根）：1.72 个百分点。
y 自己的标准偏差是 1.74——两个数几乎一样，因为这一版什么信息都没用上，就是拿中心顶上去。
! 任何新算法的 RMSE 都必须比 1.72 小，否则它连「取平均」都不如。
③ 第二版：按分数分档，档内取平均
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| 分数段 | 人数 | 档内平均 | 最低 | 最高 |
|:---:|---:|---:|---:|---:|
| 40 ~ 50 | 11 | 4.58% | 3.4% | 6.7% |
| 50 ~ 60 | 10 | 5.78% | 4.6% | 7.1% |
| 60 ~ 70 | 11 | 6.77% | 5.1% | 8.3% |
| 70 ~ 80 | 11 | 7.20% | 6.1% | 9.4% |
| 80 ~ 90 | 11 | 8.04% | 6.7% | 9.3% |
| 90 ~ 96 | 6 | 9.22% | 7.7% | 10.6% |
这一版只用了一条规则：同一个分数段的人，加薪幅度按该段的平均算。
它的误差（均方根）：1.00 个百分点。
④ 两版差多少
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第一版 1.72 个百分点，第二版 1.00 个百分点，降了 41.9%。
说明分数确实带着信息——知道一个人在哪个档，比什么都不知道强。
但第二版有个毛病：档与档之间是台阶。60 分的人和 59 分的人被算成同一档，69 分的又跳一档。
⑤ 还缺什么
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缺一条连续的线：分数每多 1 点，加薪该多多少，能直接读出来的那种。
这条线就是回归线。下一节先把它画在图上看一眼。
那个 rmse 函数是整个模型评价的核心：先平方、再平均、最后开方，三步一步都不能省。 1.72 到 1.00 这一步，全靠「分数」这一列信息。没有任何新数据进来，只是把已有的数用上了。
30 秒实验
- 把分档从六档改成三档（40~60、60~80、80~96），误差会变成多少？
- 如果把分档改成「一人一档」（60 档），误差会不会降到 0？为什么那样做没有意义？
- 想一想：为什么 RMSE 要先平方再开方，直接用「绝对值的平均」行不行？
常见误区
- 拿一个误差数就当模型好坏：RMSE 只说明平均偏多少，不说明偏在哪些人身上。
- 不看基准线就宣布模型有效：不谈「取平均」的 1.72，就没法说 1.00 是不是真的好。
- 分档越多越精确：档多了每档样本变少，档内平均就变成了噪声。
- 把预测值当成承诺：计算器吐的是「平均而言」，不是「你一定拿这么多」。
自测三问（点开对答案）
1. 为什么第一版的误差恰好等于 y 的标准偏差？ —— 因为它对所有人给同一个数，等于没有用到 x 的任何信息。预测值的偏差就退化成 y 本身的散布。 2. 第二版只加了一条规则，误差为什么能降四成？ —— 因为绩效点数确实和加薪幅度有关。把这条关系用上一部分，能解释的变异就少了一块。 3. 分档的台阶问题怎么消掉？ —— 让预测值随分数连续变化，而不是分段跳。这就是下一节的回归线。台阶要消掉，得先看清楚这团点长什么样。下一篇画散点图，再在它上面画一条连续的线。
- ☐ （本篇完，下一篇 10.2 散点图与一条直线）