一、书里的四行 R

读数据 read.csv()，拟合 lm(raise ~ points)，看摘要 summary()，画线 abline()。 四行里真正干活的只有一行：lm()。其余三行是输入、查看、展示。 这台机器上没有 R：Rscript 不存在，装上也不是这台机器的事。所以那四行只能原样贴出来。

平台原样，不等于知识点缺席。lm() 内部做的就是上一篇那两个公式。

二、lm() 到底做了什么

第二行是核心，其余三行都是围着它转的。 summary() 里那些标准误、p 值，是给「这条线可信不可信」用的，属于第 11 章的范围。 这里先把系数和 r² 对上，够用了。

三、同一件事在这里怎么干

numpy 的 polyfit(x, y, 1) 一次算完，返回 [斜率, 截距]。 结果 m = 0.0898、b = 0.700，和手算差 6.8e-16。这个差是浮点数存不下无限小数造成的。 三套工具，一条线：R 的 lm()、numpy 的 polyfit、手写的四行，数学上是同一个东西。

所以「会不会用某个软件」不是关键，「知不知道它在算什么」才是。

四、回归方程和散点图是一回事

斜率 0.0898 是正的，对应散点图里点云往右上走。斜率为负，点云就往右下走。 残差平方和越小，点贴得越紧，r² 就越大，图上看起来越像一条线。 所以看散点图时心里该有两个判断：斜不斜、散不散。它们直接对应 m 和 r²。

图和方程不是两种东西，是同一件事的两种写法。

五、范围外的 x：外插

数据里分数最低 40、最高 95。拿 120 去问，方程照样吐数——11.47%。 拿 150 去问，给 14.17%。拿 20 去问，给 2.50%。 这三个数都是「把直线画长一点」算出来的，不是预测。这种用法叫外插。

最危险的不是 150 那种明显荒唐的，是 20 那种——2.50% 看着完全合理，所以没人会怀疑它。 判断标准很简单：x 落在数据范围内，叫内插；落在外面，叫外插。外插的结论必须标出来。

六、动手 Demo：让 R 创建回归对象，以及它的边界

先原样贴出书里的四行 R（本沙箱没有 R，不执行）。 再用 numpy 的 polyfit 算同一个结果，和手算的比一比。 最后把几个范围外的 x 丢进去，看方程怎么答。

import numpy as np

S = [20261102]

def rnd():
    S[0] = (S[0] * 1103515245 + 12345) % 2147483648
    return S[0] / 2147483648.0

DATA = []
for i in range(60):
    x = 40 + int(round(i * 55 / 59.0))
    y = 1.2 + 0.085 * x + (rnd() - 0.5) * 3.2
    DATA.append((x, round(y, 1)))

XS = np.array([d[0] for d in DATA], dtype=float)
YS = np.array([d[1] for d in DATA], dtype=float)

# 手算
mx = sum(XS) / len(XS)
my = sum(YS) / len(YS)
m1 = ((XS - mx) * (YS - my)).sum() / ((XS - mx) * (XS - mx)).sum()
b1 = my - m1 * mx

# 工具
m2, b2 = np.polyfit(XS, YS, 1)
print("手算 m=%.4f b=%.3f" % (m1, b1))
print("polyfit m=%.4f b=%.3f" % (m2, b2))
print("两者之差 %.1e" % (abs(m1 - m2) + abs(b1 - b2)))

print()
for q in (20, 40, 95, 120, 150):
    tag = "内插" if 40 <= q <= 95 else "外插"
    print("%-4d 分 -> %5.2f%%   %s" % (q, b1 + m1 * q, tag))

实跑输出：

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让 R 创建回归对象，以及它的边界
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  ① 书里怎么让 R 干这件事
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  [平台原样 · 本沙箱不执行]
  | salary <- read.csv("salary.csv")
  | m <- lm(raise ~ points, data = salary)
  | summary(m)
  | abline(m, col = "red")
  lm() 干的就是上面那两步：拟合系数、给出摘要。这台机器上没有 R，跑不了。


  ② 同一件事在这里怎么干
  --------------------------------------------------------------------
  numpy 的 polyfit 一次算完：m = 0.0898，b = 0.700。
  和手算的 m = 0.0898、b = 0.700 对得上——差 6.8e-16，是浮点误差。
  ! 工具换了，公式没换。R 的 lm()、numpy 的 polyfit、手写四行，算的是同一条线。

  ③ 回归方程和散点图是一回事
  --------------------------------------------------------------------
  斜率 m = 0.0898 的正负，就是散点图里点云的倾斜方向。
  残差平方和越小，说明点贴得越紧，r² 就越大。
  所以看散点图时心里该有一条线：它斜不斜、点散不散。这两个判断直接对应 m 和 r²。

  ④ 拿范围外的 x 去问
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  数据里分数最低 40、最高 95。拿 120 去问，方程照样会吐一个数。

| 输入的点数 | 方程给的值 | 数据覆盖过吗 |
|:---:|:---:|---|
| 20 | 2.50% | 不是 |
| 40 | 4.29% | 是 |
| 95 | 9.23% | 是 |
| 120 | 11.47% | 不是 |
| 150 | 14.17% | 不是 |

  120 分给 11.47%，150 分给 14.17%——两个数都是直线延长出来的，没有任何依据。
  20 分给 2.50%，看着还挺像回事。这正是外插最危险的地方：错得很像对的。
  ! 数据没覆盖的地方，回归线只是「把直线画长一点」，不是预测。这叫外插。

  ⑤ 回归的适用范围
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  它只对这段数据覆盖的范围负责：40 到 95 分。
  它只对「大致是直线」的关系负责。点云要是弯的，直线会两头都错。
  它只对「和这批人像的人」负责。换个行业、换个岗位序列，斜率和截距都得重算。

polyfit 和手算的差是 6.8e-16，量级在浮点精度上。这不是「大致一样」，是「同一条线」。 外插那三行里，20 分给的 2.50% 最像真的——恰恰是它最该被标出来。

30 秒实验

1. 如果数据里只有 60 到 90 分的人，把线延伸到 40 分会更危险还是更安全？为什么？
2. 把 polyfit 的第三个参数改成 2（二次拟合），r² 会升还是会降？升了就该用二次模型吗？
3. 想一想：为什么「外插危险」这句话，对时间序列数据的杀伤力比对横截面数据更大？

常见误区

1. 把工具当知识：会用 lm() 不等于知道它在算最小二乘，换个软件就抓瞎。
2. 外插不给标记：把范围外的预测和范围内的预测混在一张表里交出去。
3. 拿 summary() 的星号当结论：显著性说的是「这个斜率不太可能是 0」，不是「这个模型好用」。
4. 看到 polyfit 和手算不完全相等就以为算错了：浮点误差是常态，量级在 1e-16 就该放过。

线有了、工具也有了。最后一篇把方程翻译成人话，看它能拿来说什么、不能拿来说什么。

• ☐ （本篇完，下一篇 10.5 算法就是那个方程）

相关笔记

• 回归线能预测什么
• 算法就是那个方程
• 校正假设
• 📈 深入浅出数据分析 · 索引