波仔
📈 第10章 回归
📄 一句话概括

斜率 0.0898 翻译成人话：绩效每多 10 点，加薪多 0.90 个百分点。这句话能拿去问人事。 但它只对「平均而言」成立。79 分的拿到 9.4%，83 分的只拿到 6.7%，方程一个都没抓到。 60 个人里 20 个人的偏差超过 1 个百分点，偏差中位数 0.83。所以预测必须连着误差一起交。

📝 本章和前面几章的关系

上一篇把线算出来了。这一篇把方程里的每个数翻译成能说出口的话，再看它失手的地方。 这一篇是全章的收口：计算器为什么建成了，又为什么没照计划行事。

一、把方程翻译成人话

方程是 y = 0.700 + 0.0898x。两个数，两句话。 m = 0.0898：绩效点数每多 1 点，加薪幅度平均多 0.0898 个百分点。 换成整十更好说：每多 10 点，加薪多 0.90 个百分点。

b = 0.700：点数 0 分时方程的预测值。这个数没有现实意义——没人考 0 分，别去解释它。 截距常常没有意义，斜率几乎总有意义。这是读回归方程时最实用的一条经验。

二、斜率是能拿去谈判的数

「平均加薪 6.76%」这句话，对谁都一样，说了等于没说。 「绩效每多 10 点，加薪多 0.90 个点」不一样：它告诉你多做多少能多拿多少。 按 8000 元月薪算，0.90 个百分点折成钱大约一年 862 元。

这个数不大，但它是可验证的：你可以拿它去问人事「是不是这个比例」。 能被验证的说法，才叫结论。不能被验证的，只是感受。

三、为什么它对某一个人不准

表里有两个人：79 分的实际拿 9.4%，83 分的实际只拿 6.7%。 方程给他们 7.79% 和 8.15%——一个低了 1.61，一个高了 1.45。 两个人分数只差 4 分，实际加薪却差了 2.7 个百分点，一年差 2592 元。这个差方程完全没抓到。

还有一个 48 分的拿了 6.7%，方程只给 5.01%，偏差 1.69，是 60 个人里最大的一笔。 这些偏差不是方程算错了，是方程压根没把「部门、岗位、谈判」这些变量放进去。

四、误差必须连着预测一起交

60 个人里，偏差超过 1 个百分点的有 20 个，占 33%。 偏差的中位数是 0.83 个点，最大 1.69 个点。中位数比 RMSE（0.94）小，说明 RMSE 被大偏差拖高了。 所以「你会加 8.6%」这句话是不完整的。完整的说法是「8.6% 上下一个点」。

不交误差，等于把不确定性藏起来，让对方以为这个数是确定的。 只报一个点估计，是把风险转嫁给了听的人。

五、第 11 章要补的东西

第一，要给预测配一个区间：不是「8.6%」，是「大概率落在 7.7% 到 9.5% 之间」。 第二，要把误差拆开看：是不是某一段分数的人特别不准，是不是某类岗位特别不准。 第三，要能回答「这个模型值不值得用」——拿它跟不用它比，差多少。

这三件事都是第 11 章的内容。这一章先把线立住，下一章给它加上边界。 回到那句老话：模型的价值不在于给出一个数，在于让人知道这个数能信几分。

六、动手 Demo：算法就是那个方程，以及它为什么失手

把斜率翻译成人话，再挑三个人看预测和实际差多少。 最后统计偏差的分布：超过 1 个点的有多少人，中位数和最大值各是多少。

S = [20261102]

def rnd():
    S[0] = (S[0] * 1103515245 + 12345) % 2147483648
    return S[0] / 2147483648.0

DATA = []
for i in range(60):
    x = 40 + int(round(i * 55 / 59.0))
    y = 1.2 + 0.085 * x + (rnd() - 0.5) * 3.2
    DATA.append((x, round(y, 1)))

XS = [d[0] for d in DATA]
YS = [d[1] for d in DATA]
n = len(XS)
mx = sum(XS) / float(n)
my = sum(YS) / float(n)
num = sum((x - mx) * (y - my) for x, y in zip(XS, YS))
den = sum((x - mx) * (x - mx) for x in XS)
m = num / den
b = my - m * mx

print("每多 1 点 %.4f 个百分点" % m)
print("每多 10 点 %.2f 个百分点" % (m * 10))
print("每多 10 点，按 8000 月薪一年 %.0f 元" % (12 * 8000 * m * 10 / 100))

print()
for q in (79, 83, 48):
    act = [y for x, y in DATA if x == q][0]
    pv = b + m * q
    print("%2d 分：预测 %5.2f%%  实际 %4.1f%%  差 %+.2f" % (q, pv, act, act - pv))

off = sorted(abs(y - (b + m * x)) for x, y in DATA)
print()
print("偏差超过 1 个点：%d 人（%.0f%%）"
      % (sum(1 for d in off if d > 1.0), sum(1 for d in off if d > 1.0) / 60.0 * 100))
print("偏差中位数 %.2f   最大 %.2f" % ((off[29] + off[30]) / 2.0, off[-1]))

实跑输出：

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算法就是那个方程，以及它为什么失手
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  ① 方程里每个数是什么意思
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  m = 0.0898：绩效点数每多 1 点，加薪幅度平均多 0.0898 个百分点。
  换成整十：每多 10 点，加薪多 0.90 个百分点。
  b = 0.700：点数 0 分时，方程的预测值。这个数没有现实意义——没人考 0 分，别去解释它。

  ② 斜率才是能拿去谈判的那个数
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  「绩效每多 10 点，加薪多 0.90 个点」——这句话可以直接拿去问人事。
  它比「平均加薪 6.76%」有用得多：平均值对谁都一样，斜率告诉你多做多少能多拿多少。
  但它也只是一句平均话：同样 80 分的人，现实里的加薪散布还不小。

  ③ 拿它去预测几个真人
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  79 分的这位：方程给 7.79%，实际拿到 9.4%，差 +1.61 个点。
  83 分的另一位：方程给 8.15%，实际拿到 6.7%，差 -1.45 个点。
  这两个人分数只差 4 分，实际加薪差了 2.7 个点——这个差，方程一点都没抓到。
  按 8000 元月薪算，这 2.7 个点一年差 2592 元。
  还有一个 48 分的：方程给 5.01%，他实际拿了 6.7%——偏差 1.69 个点，是 60 个人里最大的一笔。
  60 个人里，偏差超过 1 个百分点的有 20 个，占 33%。
  偏差的中位数是 0.83 个点，最大 1.69 个点。中位数比 RMSE 小，说明 RMSE 被大偏差拖高了。

  ④ 计算器为什么没照计划行事
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  不是方程算错了，是它只能给「平均而言」的答案，给不了「这一个人」的答案。
  RMSE 0.94 个百分点，偏差中位数 0.83 个百分点——一半人的偏差比中位数更大。
  拿它去跟老板谈，谈的是平均值；老板看的是你这个人。中间那段距离就是误差。
  ! 任何预测都要连着误差一起交出去。只给一个数，等于把不确定性藏起来了。

  ⑤ 剩下的事交给第 11 章
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  要回答「我这个预测有多少把握」，得给预测配一个区间。
  要回答「我的模型哪儿最不准」，得把误差拆开看，分区分段。
  这两件事都是第 11 章的内容。这一章先把这条线立住。

三行「预测 / 实际 / 差」摆在一起，比任何一句结论都直观：方程给的是中间那条线，人是线两边的点。 偏差中位数 0.83 小于 RMSE 0.94，说明误差分布有长尾——少数人偏得很远，把 RMSE 拉上去了。

30 秒实验

  1. 如果给每个人加薪时都按方程来，公司总支出会变多还是变少？为什么？
  2. 把「偏差超过 1 个点」的门槛改成 0.5 和 1.5，人数分别变成多少？门槛该怎么定？
  3. 想一想：为什么「预测必须带误差」这件事，在和老板谈的时候比在报告里写更重要？

常见误区

  1. 去解释截距：0.700 是「0 分时加薪 0.7%」，这句话在业务上没有对应物。
  2. 只报点估计：把「8.6%」当成确定的数交出去，藏掉了 ±1 个点的波动。
  3. 用平均值代替个人预测：平均值描述群体，个人预测必须带区间。
  4. 把偏差当模型错误：偏差里有真实信息（岗位、谈判），一味压低它会把有用结构也抹掉。
自测三问（点开对答案） 1. 斜率 0.0898 换算成「每 10 分」是多少？一年多少钱？ —— 每 10 分对应 0.90 个百分点。按 8000 元月薪算，一年大约 862 元。 2. 为什么说截距常常没有意义？ —— 它对应 x = 0 时的预测值，而 x = 0 往往落在数据范围外，甚至是现实中不存在的取值。 3. 偏差中位数 0.83 比 RMSE 0.94 小，说明什么？ —— 说明误差分布有长尾：多数人偏得不多，少数人偏得很远，把均方根误差拉高了。

第 10 章到此收口。第 11 章给这条线配上误差区间，回答「这个预测能信几分」。

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