一、25% 从哪来

那位员工的 108 分不是绩效分，是公司把外部获奖、专利、跨部门支援折算成点数之后的总和。 这个折算规则是去年新加的，模型训练用的 60 条记录里一条都没有这种折算。 他按计算器一算：108 分对应 10.40%。他觉得自己该拿 25%，于是按 25% 去谈。

谈崩了。他拿 10.40% 当「公司自己算出来的数」来质问，公司拿不出反驳。 麻烦的根源不是他要 25%，是那个 10.40% 看上去像公司官方口径。

二、他不在模型范围内

这 60 条记录里，分数最低 40、最高 95。108 落在外面。 落在外面意味着：这个区间里没有任何一个数据点约束过这条线。 方程照样给数，因为直线是无限长的。但那个数只反映「直线的延长方向」，不反映「现实」。

外插不是算错，是问错了问题：模型只在它见过的地方有发言权。

三、外插的三种样子

前两种是坐标越界，一眼能查出来：拿 x 跟数据的最大最小值比一下就知道。 第三种是关系越界。分数还在 40 到 95 里面，但这个人已经不属于这批人了——比如他升成了主管。 第三种最难发现，因为所有自查都能通过。它靠的不是范围检查，是对业务的了解。

四、怎么对待这种客户

第一句：这个数不能用来谈，因为它落在模型没见过的地方。 第二句：能谈的是这个——108 分的人，公司历史上是怎么定的？通常有特批流程。 第三句：如果希望模型覆盖这一段，得补数据，不是调参数。

三句话的顺序有讲究：先否掉错答案，再给替代路径，最后说清成本。 只说「不能算」，客户会自己去找别的算法，然后拿着更离谱的数回来。

五、只解决了部分问题

外插这条路堵住了，可「我该拿多少」这个问题还在。 堵住一个错答案，不等于给出一个对答案。这是咨询工作里最容易被忽略的一半。 而且客户会很自然地问：那你们这个模型，到底能信几分？

要回答这句，得先把这个模型的误差量出来。下一篇开始。

六、动手 Demo：外插法惹的祸：25% 是怎么来的

把 40、95 与 100、108、130 放在一起，逐个标出是内插还是外插。 顺便算一下：外插给出的 10.40% 和员工要求的 25%，差了多少倍。

S = [20261102]

def rnd():
    S[0] = (S[0] * 1103515245 + 12345) % 2147483648
    return S[0] / 2147483648.0

DATA = []
for i in range(60):
    x = 40 + int(round(i * 55 / 59.0))
    y = 1.2 + 0.085 * x + (rnd() - 0.5) * 3.2
    DATA.append((x, round(y, 1)))

XS = [d[0] for d in DATA]
YS = [d[1] for d in DATA]
n = len(XS)
mx = sum(XS) / float(n)
my = sum(YS) / float(n)
m = sum((x - mx) * (y - my) for x, y in zip(XS, YS)) / sum((x - mx) ** 2 for x in XS)
b = my - m * mx
lo, hi = min(XS), max(XS)

for q in (20, 40, 95, 100, 108, 130):
    tag = "内插" if lo <= q <= hi else "外插"
    print("%3d 分  预测 %5.2f%%  %s" % (q, b + m * q, tag))

print()
print("数据范围 %d ~ %d，108 在外面的距离是 %d 分" % (lo, hi, 108 - hi))
print("外插给的 %.2f%%，他要的 25%%，差了 %.2f 倍" % (b + m * 108, 25.0 / (b + m * 108)))

实跑输出：

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外插法惹的祸：25% 是怎么来的
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  ① 25% 从哪来
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  那位员工的 108 分不是绩效分，是公司把外部获奖、专利、跨部门支援折算成点数之后的总和。
  他按计算器一算：108 分对应 10.40%。
  他觉得自己该拿 25%，于是按 25% 去谈。谈崩了，然后来找我们。

  ② 他不在模型范围内
  --------------------------------------------------------------------
  这 60 条记录里，分数最低 40、最高 95。108 落在外面。

| 点数 | 方程给的值 | 这是哪种用法 |
|:---:|---:|---|
| 40 | 4.29% | 内插 |
| 95 | 9.23% | 内插 |
| 100 | 9.68% | 外插 |
| 108 | 10.40% | 外插 |
| 130 | 12.37% | 外插 |

  三行外插都是「把直线往两头画长」画出来的，一个数据点都没有支撑它们。
  ! 外插不是算错，是问错了问题：模型只在它见过的地方有发言权。

  ③ 外插的三种样子
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| 样子 | 表现 | 危险在哪 |
|---|---|---|
| 超出上限 | 108 分算出一个偏高的数 | 数看着合理，没人会拦 |
| 低于下限 | 20 分算出 2.50% | 同上，越合理越危险 |
| 关系变了 | 升到管理层后斜率整个换掉 | 范围以内也可能失效 |

  前两种是坐标越界，第三种是关系本身越界。第三种最难发现，因为分数还在范围内。

  ④ 怎么对待这种客户
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  第一句：这个数不能用来谈，因为它落在模型没见过的地方。
  第二句：能谈的是这个——108 分的人，公司历史上怎么定的？（通常有特批流程）
  第三句：如果要模型覆盖这一段，得补数据，不是补参数。
  ! 拒绝一个外插值，必须同时给一条替代路径。只说「不能算」，客户会自己找别的算法。

  ⑤ 只解决了部分问题
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  外插这条堵住了，可「我该拿多少」这个问题还在。
  堵住一个错答案，不等于给出一个对答案。这是咨询里最容易被忽略的一半。
  要给出对答案，得先知道这个模型本身有多准。下一节开始量误差。

108 只超出上限 13 分，看着不远；但 13 分对应 1.17 个百分点，正好够吵一架。 「不远」不等于「有依据」。 外插给的 10.40% 和 25% 差了 2.4 倍——这个差不是模型算错，是两边说的根本不是同一件事。

30 秒实验

1. 如果数据里补上 20 条 100 到 130 分的记录，那条线的斜率还会是 0.0898 吗？为什么？
2. 「升成主管的人斜率变了」这种情况，光靠范围检查能发现吗？要靠什么发现？
3. 想一想：为什么外插给出一个「合理」的数，比给出一个荒唐的数更危险？

常见误区

1. 只看 x 是否为正数就放心用：范围检查比的是数据的最小最大值，不是零。
2. 相信「直线是无限的」：直线的数学定义是无限的，模型的可信范围不是。
3. 只堵不给路：拒绝一个外插值却不给替代方案，客户会去找更差的算法。
4. 以为范围以内就一定安全：关系本身可能已经变了，这种越界查不出来。

外插只是把错答案挡住。要给出对答案，得先把模型的误差量出来——那就是机会误差。

• ☐ （本篇完，下一篇 11.3 机会误差）

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