一、厂长的问题里藏着三样东西

「一天做多少鸭子、多少鱼，赚得最多」——这句话里，能拧的、想要的、受限的，各有一个。 能拧的是产量，想要的是利润，受限的是产能和原料。 分析的第一动作还是翻译：把这句话翻译成变量、目标、约束三行。

二、决策变量：你真正能决定的数

x = 一天做多少百只橡皮鸭，y = 一天做多少百条橡皮鱼。 为什么用「百只」而不是「只」？因为数字小一点，图上好看，算起来也不容易错。 单位是自由选择，但要在开头说清。 工人数、机器台数、原料价格都不是决策变量——你说了不算。把它们写进变量里，模型就跑不动了。

三、约束条件：旋钮拧到头的地方

三条硬约束：注塑工时、装配工时、原料。每一条都能写成一个不等式。

再加上「产量不能是负数」，一共五条。五条一起圈出一块地，就叫可行区域。

四、撞墙的组合不是坏组合

拿几个组合代进去，看谁会撞墙：

撞墙只是说明「做不出来」。做不出来的方案，利润算得再高也没有意义。

五、三行写不出来就别开软件

写在纸上就三行：变量、目标、约束。写不出来，说明你对这门生意还没想明白。 这时候打开 Excel 的 Solver，只会得到一个「看起来很像答案的东西」。 模型不会替你判断该建什么模型——这句听着像废话，是这一章后面所有坑的根源。

六、动手 Demo：浴盆玩具：先弄清能拧哪几个旋钮

四个候选组合，逐个代进三条约束，看谁可行。 这段代码没有优化，它只做一件事：把「可行」这两个字算出来。

def check(x, y):
    inj = 2 * x + 4 * y      # 注塑工时
    asm = 3 * x + 2 * y      # 装配工时
    mat = x + y              # 原料
    ok = inj <= 400 and asm <= 420 and mat <= 180
    print('%3d, %3d | %3d/400 %3d/420 %3d/180 | %s'
          % (x, y, inj, asm, mat, 'ok' if ok else 'blocked'))

for x, y in ((0, 0), (100, 50), (140, 30), (60, 60)):
    check(x, y)

实跑输出：

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浴盆玩具：先弄清能拧哪几个旋钮
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  ① 厂长的原话
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  我们厂做橡皮鸭和橡皮鱼，两条线共用一个注塑车间。
  厂长问：一天做多少只鸭子、多少条鱼，赚得最多？
  这句话里已经藏好了三样东西：旋钮、目标、限制。

  ② 决策变量：能拧的旋钮
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  这个厂里，你真正能决定的是两个数：
    x = 一天做多少百只橡皮鸭
    y = 一天做多少百条橡皮鱼
  别的数——工人数、机器台数、原料价格——你说了不算，那些是约束，不是变量。

  ③ 约束条件：旋钮拧到头的地方
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| 资源 | 约束 |
|---|---|
| 注塑工时（分钟） | 2x + 4y ≤ 400 |
| 装配工时（分钟） | 3x + 2y ≤ 420 |
| 原料（公斤） | 1x + 1y ≤ 180 |

  再加上常识：x 和 y 都不能是负数。

  ④ 试三个组合，看谁会撞墙
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| 鸭, 鱼 | 注塑 | 装配 | 原料 | 判定 |
|---|---|---|---|---|
| 0, 0 | 0／400 | 0／420 | 0／180 | 可行 |
| 100, 50 | 400／400 | 400／420 | 150／180 | 可行 |
| 140, 30 | 400／400 | 480／420 | 170／180 | 撞墙 |
| 60, 60 | 360／400 | 300／420 | 120／180 | 可行 |

  「撞墙」的组合不是坏组合，它只是不可行——做不出来，利润再高也没用。

  ⑤ 变量、目标、约束三件套
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  最优化问题的标准写法就三行：
    决策变量：x、y
    目标函数：最大化 3x + 5y
    约束条件：上面那三条加非负
  写不出这三行，说明问题还没想清楚，这时候去开软件是浪费时间。

140, 30 这个组合，注塑刚好用满 400，装配要 480——超了 60 分钟的活，干不出来。 注意「刚好用满」和「超出」只差一步：约束是硬边界，不是建议。

30 秒实验

1. 找出一个让三条约束全部用满的组合。它能存在吗？为什么？
2. 把原料上限从 180 改成 140，哪几个组合会从可行变不可行？
3. 想一想：如果厂里能加一班，该加给注塑还是装配？先别算，凭直觉猜，下一节验证。

常见误区

1. 把约束当变量：把「工人数」也放进决策变量，模型会给你一个「招 37.4 个人」的答案。
2. 漏掉非负约束：不加 x ≥ 0、y ≥ 0，最优解可能落在负数上，业务上毫无意义。
3. 单位混用：工时用分钟、原料用公斤、产量用只，三套单位混着算，结果一定错。
4. 先开软件再想模型：Solver 不会告诉你少写了一条约束，它只会给你一个错的答案。

变量和约束认清了，还差一个「想要什么」。下一篇把「赚得最多」写成一个能算的式子。

• ☐ （本篇完，下一篇 3.2 最优化问题与目标函数）

相关笔记

• 最优化问题与目标函数
• 约束条件与可行区域
• Acme 的委托：先把问题定下来
• 📈 深入浅出数据分析 · 索引