两个变量的关系不止「一起涨」一种：还有一起跌（负相关）、先涨后跌（倒 U 形）、以及真的没关系。 倒 U 形是最容易骗过相关系数的一种：关系明明很强，r 却接近零。直线只是最省事的一种画法。 现实里的原因是张网，不是一条链。画成箭头，每条线背后都还有别的线。
上一篇讲怎么校验别人的数。这一篇开始处理「关系」这件事——它是假设的来源。 书里这一段配了散点图。这里的散点图和相关系数都用标准库算，r 的值可以自己复现。
一、相关不是一种关系，是一族
正相关：广告费涨，销量涨。负相关：售价涨，销量跌。这两种都叫线性相关，图形是一条斜线。 还有两种不常被提起：一种是倒 U 形（厚度适中最好），一种是真没关系（两个数互不影响）。 相关系数 r 只能描述前两种。它对倒 U 形几乎无感，对真没关系也只能说「没测出直线关系」。
| 形态 | 例子 | r 大概是多少 |
|---|---|---|
| 正相关 | 广告费 ↑ 销量 ↑ | 接近 +1 |
| 负相关 | 售价 ↑ 销量 ↓ | 接近 −1 |
| 倒 U 形 | 厚度适中销量最高 | 接近 0 |
| 无关系 | 两个数互不影响 | 接近 0 |
注意后两行的 r 都是接近 0，可它们的含义完全相反。这就是为什么看相关必须先看图。
二、倒 U 形：关系最强，r 最糊
厚度 6.8 毫米卖 30 万片，7.6 毫米卖 68 万片，8.8 毫米掉到 28 万片。 先涨后跌，形状是个拱。线性相关系数算出来 −0.056，几乎就是零。 可这条关系比正相关那组还强：它直接告诉你最优点在 7.6 毫米附近。
r 接近零只能说明「没有直线关系」，不能说明「没有关系」。把这句话背下来，能省很多错判。
三、现实里的原因是一张网
广告费涨，销量涨；售价涨，销量跌；厚度适中，销量最高。三条同时成立。 但这三条还互相牵扯：厚度改了，成本变，售价跟着变；售价变了，广告投放的转化也跟着变。 所以真实的因果结构是一张网，每条边都受别的边影响。而图上一根线，只能画一条边。
这就是为什么「A 和 B 相关」这句话，永远不足以支撑「改 A 就能得到 B」。
四、一张网上的三条实用规则
第一，别把网当链：看到 A→B→C，先问 B 是不是还受 D 影响。 第二，别用 r 判非线性：先画散点，看有没有拱形、有没有分段。 第三，找第三变量：两个数一起动，最常见的解释是「有个东西同时在推它们」。
这三条都不需要新工具，需要的只是看图之前先停三秒。
五、相关分析在流程里排在哪
它排在「提假设」这一步，不排在「下结论」这一步。 相关给出的是「值得试的方向」，比如「厚度 7.6 毫米附近销量最好」。 要把它变成结论，得跑一次对照实验：只改厚度，别的都不动，看销量变不变。
下一篇就干这件事：把方向变成几个具体的备选方案，再用手头资料筛。
六、动手 Demo：相关：直线只是最省事的一种画法
三组数算三个 r：一组正相关、一组负相关、一组倒 U 形。 重点看第三个：关系最强的一组，r 反而最接近零。
import math
def corr(xs, ys):
n = len(xs)
mx = sum(xs) / float(n)
my = sum(ys) / float(n)
cov = sum((xs[i] - mx) * (ys[i] - my) for i in range(n))
sx = math.sqrt(sum((x - mx) ** 2 for x in xs))
sy = math.sqrt(sum((y - my) ** 2 for y in ys))
return cov / (sx * sy)
AD = [10, 20, 30, 40, 50, 60] # 广告费（万元）
SALE = [32, 45, 58, 66, 80, 92] # 销量（万片）
PRICE = [88, 82, 76, 70, 64, 58] # 售价（元）
THICK = [6.8, 7.2, 7.6, 8.0, 8.4, 8.8] # 厚度（毫米）
OUT = [30, 52, 68, 66, 50, 28] # 销量（万片）
print("广告费 vs 销量 r = %+.3f" % corr(AD, SALE))
print("售价 vs 销量 r = %+.3f" % corr(PRICE, SALE))
print("厚度 vs 销量 r = %+.3f" % corr(THICK, OUT))
print()
print("第三个几乎为零，可它描述的是一条拱形：中间最好")
print("r 只认直线，拱形在它眼里等于没关系")
实跑输出：
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相关：直线只是最省事的一种画法
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① 三组数，三个相关系数
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| 两个变量 | 相关系数 r | 读法 |
|---|---:|---|
| 广告费 vs 销量 | +0.998 | 正相关 |
| 售价 vs 销量 | -0.998 | 负相关 |
| 厚度 vs 销量 | -0.056 | 几乎为零 |
② 第三个 r 是零，关系却是最强的
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厚度与销量：6.8 毫米卖 30 万，7.6 毫米卖 68 万，8.8 毫米掉到 28 万。
先涨后跌，是个倒 U 形。可线性相关系数只有 -0.056。
原因是直线只能表达「一起涨」或「一起跌」，表达不了「先涨后跌」。
! r 接近零，只能说明没有直线关系，不能说明没关系。
③ 现实里的原因是一张网
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广告费涨，销量涨；售价涨，销量跌；厚度适中，销量最高。
这三条同时还互相牵扯：厚度改了，售价会变；售价变了，广告要重投。
把原因画成箭头，是一张网，不是一个链条。图上一根线代表的关系，现实里可能有三条。
④ 正相关、负相关、无相关，各该怎么用
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| 形态 | 例子 | 怎么用 |
|---|---|---|
| 正相关 | 广告费 ↑ 销量 ↑ | 可以顺着推，但别说「因为」 |
| 负相关 | 售价 ↑ 销量 ↓ | 同上，方向相反不等于因果 |
| 倒 U 形 | 厚度适中最好 | 要找最优点，别用 r 判断 |
| 无相关 | 两个数互不影响 | 先确认是不是非线性，再下结论 |
⑤ 这一步的产出是什么
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相关分析给不出结论，它给出的是「值得假设的方向」。
上面三条里，最值得拿去做实验的是「厚度适中销量最高」——它能变成一个可测的改动。
−0.056 这个数看着像「没关系」，实际是「先涨后跌」被直线平均掉了。 判断关系的第一步永远是画图，不是算 r。图看形状，r 只做补充。
30 秒实验
- 把厚度那组的销量改成严格对称的拱（30、55、70、70、55、30），r 会变成多少？会更接近零吗？
- 假设还存在第三个变量「渠道数量」，它同时推高广告费和销量。这时前两个 r 该怎么解读？
- 想一想：这一节里哪一句最容易被误用成「相关就是因果」？
常见误区
- 只算 r 不看图：倒 U 形和真没关系算出来都是接近零，含义却完全相反。
- 把 |r| 大当关系强：r 大只说明贴直线，不说明影响大。样本少的时候 r 还会虚高。
- 忽略第三变量：两个数一起动，最常见的原因是背后有同一个推手。
- 拿一条边当整张网：现实里的原因互相牵扯，改一个变量，别的也会跟着变。
自测三问（点开对答案）
1. r 接近零的两种截然不同的含义是什么？ —— 一种是真没关系，一种是关系很强但不是直线（比如倒 U 形）。 2. 为什么相关系数看不出倒 U 形？ —— 因为它衡量的是「贴不贴一条直线」。拱形上下两半的偏离方向相反，加起来正好抵消。 3. 相关分析在流程里该放在哪一步？ —— 提假设那一步。它给出值得试的方向，要变成结论还得靠对照实验。方向有了，接下来要把它变成几个能比较的具体方案。下一篇列三个备选方案，用手头资料筛。
- ☐ （本篇完，下一篇 5.4 备选方案与手头资料）