一、方差：var

语文 80.90、数学 113.56、英语 102.77。 算法是「每个数减均值、平方、加起来、再平均」。平方是为了让正负不抵消。 代价是单位变了：分变成「分的平方」。这个数没法直接讲给人听。

所以方差多用在推导里（比如方差分析），日常报数一律用标准差。

二、标准差：std

语文 8.99、数学 10.66、英语 10.14。方差开根号就是它。 验算：8.99 的平方是 80.90，正好等于方差——两个函数本来就是一家。 数学标准差最大，说明数学这科分得最开；语文最小，最集中。

标准差回到原单位才好讲。「语文标准差 8.99 分」别人一听就懂。 经验说法：正态分布下，约 68% 的数落在均值加减 1 个标准差里。

三、ddof：分母是 n 还是 n-1

pandas 的 std() 默认 ddof=1，分母是 n-1 = 9。 同一列语文：ddof=1 得 8.9944，ddof=0 得 8.5329。差了 0.46。

为什么默认 n-1？因为样本方差要用它才是总体方差的无偏估计。 这是「同一份数据两个结果」的经典来源。报标准差要么写清 ddof，要么统一用一个库。

四、变异系数：去掉量纲再比

语文标准差 8.99、均值 82.70，变异系数 0.109。 数学标准差 10.66、均值 83.00，变异系数 0.128。数学相对更散。 标准差只能比同量纲的东西。「语文的分散程度」和「月收入的分散程度」不能直接比。

变异系数等于标准差除以均值，没有单位，所以能跨指标比。 经验线：大于 1 通常说明数据很散，小于 0.1 说明相当集中。

五、动手 Demo：方差与标准差：谁的成绩更稳

先算三科方差，再开根号看标准差，然后比 ddof 两种口径的差。 最后算变异系数，给三科排个「相对分散」的顺序。

import pandas as pd

DF = pd.DataFrame({
    "语文": [88, 92, 75, 85, 90, 68, 95, 72, 83, 79],
    "数学": [92, 95, 68, 88, 73, 82, 91, 65, 86, 90],
    "英语": [85, 90, 80, 79, 95, 71, 88, 60, 84, 87],
})

print("方差 %s" % DF.var().round(2).tolist())
print("标准差 %s" % DF.std().round(2).tolist())

S = DF["语文"]
print("ddof=1 %.4f   ddof=0 %.4f" % (S.std(), S.std(ddof=0)))
print("8.99 的平方 %.2f" % (S.std() ** 2))

CV = (DF.std() / DF.mean()).round(3)
print("变异系数"); print(CV.to_string())
print("最散的是 %s" % CV.idxmax())

实跑输出：

--------------------------------------------------------------------
方差与标准差：谁的成绩更稳
--------------------------------------------------------------------

  ① 方差：var
  --------------------------------------------------------------------
  语文方差 80.90，数学 113.56，英语 102.77。
  方差是「每个数减均值的平方，加起来再平均」，单位是原单位的平方。
  语文方差 80.90 意思是「分的平方」，这个数没法直接讲给人听。
  ! 方差好用但不好讲——所以才有标准差：开个根号就回到「分」这个单位。

  ② 标准差：std
  --------------------------------------------------------------------
  语文标准差 8.99，数学 10.66，英语 10.14。
  数学标准差最大，说明数学这科分得最开；语文最小，最集中。
  验算：语文 8.99 的平方是 80.90，正好等于方差。
  ! 标准差回到原单位才好讲。「语文标准差 8.99 分」这句话别人一听就懂。

  ③ ddof：分母是 n 还是 n-1
  --------------------------------------------------------------------
  pandas 的 std() 默认 ddof=1，分母是 n-1=9。
  ddof=1 得 8.9944，ddof=0 得 8.5329。
  numpy 默认 ddof=0。同一列数，两个库算出来不一样，就是因为这个。
  ! 这是「同一份数据两个结果」的经典来源。报标准差要么写清 ddof，要么统一用一个库。

  ④ 变异系数：去掉量纲再比
  --------------------------------------------------------------------
  语文均值 82.70、标准差 8.99，变异系数 0.109。
  数学均值 83.00、标准差 10.66，变异系数 0.128。
  标准差只能比同量纲的东西。要拿语文的分散程度和「月收入」比，就得用变异系数。
  ! 变异系数 = 标准差除以均值，没有单位。大于 1 通常说明数据很散。

S.std() 平方一下等于 S.var()，打出来是同一个数——这是最省事的自检办法。 ddof 差一点点，报告里的数就差一位。两个库混用时一定要对齐口径。

30 秒实验

1. 把某一行整体加 10 分（全班都加分），看标准差变不变。
2. 把某一行改成 100 分，看标准差怎么跳。
3. 想一想：如果两个班平均分一样，标准差一个 5 一个 15，哪个班更好带？

常见误区

1. 报方差当分散程度讲：单位是平方，别人听不懂。
2. pandas 和 numpy 混着算标准差：同一列数两个结果，对账对不上。
3. 拿标准差跨指标比：分和万元比不了，得用变异系数。
4. 以为标准差越小越好：考试分数越小越齐，但收益、创新这类指标太齐未必是好事。

中心、分散都讲完了。下一篇是按位置切：分位数。

• ☐ （本篇完，下一篇 4.4 分位数：一刀切掉 35%）

相关笔记

• 中位数与众数
• 分位数：一刀切掉 35%
• 求和、均值、最大最小
• 📊 Python 数据分析 · 索引