一、你带着模型看数据

看到销售额下滑，有人第一反应是「价格太高」，有人是「渠道不对」，有人是「竞品降价」。 这三种反应不是从数据里来的，是先于数据存在的。 数据只能告诉你「跌了」，跌的原因得靠模型去猜，再靠实验去验。 所以教材里那句话说得准：你对世界的假设和你确信的观点，就是你的心智模型。

二、两个常见的模型

直线模型：投得多就卖得多，一比一往上走。它的隐含假设是「没有上限」。 饱和模型：投到一定程度就不涨了。它的隐含假设是「市场有天花板」。 两个假设都很常见，选哪个不看谁更高级，看数据长什么样。

三、怎么比这两个模型

把每个数据点代进去，算预测值，再算「实际减预测」——这叫残差。 残差有正有负，直接平均会互相抵消，所以先平方再平均，最后开方，得到均方根误差（RMSE）。 它是一个「典型偏差有多大」的数。 RMSE 越小，模型越贴。注意是「贴」不是「对」——贴只能说明它没违背数据，不能说明它揭示了原因。

四、结论为什么会反过来

Acme 的八个点，投到 50 万以后销量就基本平了。 直线模型看不见这个平面，它会一直往上画，于是在 80 万那里高估了三个多万件。 拿直线模型的人说：还差 3 万件，继续加投。拿饱和模型的人说：已经在平面上，再加是白花钱。 同一份数据，两个相反的预算建议。差别不在数据，在那条线的假设里。

五、模型不是越复杂越好

既然两个都不完美，为什么不拟合一个更复杂的？因为模型要用来做决定，不是用来拟合历史。 参数越多，越容易把噪声也学进去，换一批数据就崩。这叫过拟合。 选模型的实用标准：能不能用一句人话讲清它的假设。讲不清的模型，客户不会拿它做决定。

六、动手 Demo：两个心智模型，看同一堆数

八个广告投入点，两种拟合，两张预测表，两个 RMSE。 直线模型在低投入端高估、在高投入端也高估——因为真实关系是弯的。

import math
ad = [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80]
vol = [12.1, 18.4, 23.2, 26.2, 27.9, 28.3, 28.6, 28.5]

def fit(xs, ys):
    n = len(xs)
    mx, my = sum(xs) / n, sum(ys) / n
    k = sum((x - mx) * (y - my) for x, y in zip(xs, ys)) / \
        sum((x - mx) ** 2 for x in xs)
    return k, my - k * mx

kA, bA = fit(ad, vol)
kB, bB = fit([math.log(a) for a in ad], vol)
print('直线 y = %.2f + %.4f x' % (bA, kA))
print('对数 y = %.2f + %.3f ln x' % (bB, kB))

def rmse(pred):
    return (sum((v - p) ** 2 for v, p in zip(vol, pred)) / len(vol)) ** 0.5

print('直线 RMSE %.2f' % rmse([bA + kA * a for a in ad]))
print('对数 RMSE %.2f' % rmse([bB + kB * math.log(a) for a in ad]))
print('投 80 万：直线 %.1f，对数 %.1f，实际 %.1f'
      % (bA + kA * 80, bB + kB * math.log(80), vol[-1]))

实跑输出：

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两个心智模型，看同一堆数
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  ① 心智模型是什么
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  你脑子里那套「世界怎么运转」的假设，就是心智模型。
  它决定你认为哪些变量重要、数据该怎么读、什么算异常。
  下面两套模型，看的是同一份广告投入与销量的数据。

| 广告投入万元 | 销量万件 |
|---:|---:|
| 10 | 12.1 |
| 20 | 18.4 |
| 30 | 23.2 |
| 40 | 26.2 |
| 50 | 27.9 |
| 60 | 28.3 |
| 70 | 28.6 |
| 80 | 28.5 |


  ② 模型 A：投得多就卖得多（直线）
  --------------------------------------------------------------------
  最小二乘直线：销量 = 14.357 + 0.2176 × 投入
  这句话的意思是：每多投 1 万元，多卖 0.218 万件。
  按它算，投 80 万应该卖 31.8 万件。

  ③ 模型 B：投到一定程度就不涨了（对数）
  --------------------------------------------------------------------
  销量 = -6.218 + 8.370 × ln(投入)
  按它算，投 80 万应该卖 30.5 万件。

  ④ 两个模型谁更贴
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| 投入 | 实际 | 直线预测 | 对数预测 |
|---:|---:|---:|---:|
| 10 | 12.1 | 16.5 | 13.1 |
| 20 | 18.4 | 18.7 | 18.9 |
| 30 | 23.2 | 20.9 | 22.3 |
| 40 | 26.2 | 23.1 | 24.7 |
| 50 | 27.9 | 25.2 | 26.5 |
| 60 | 28.3 | 27.4 | 28.1 |
| 70 | 28.6 | 29.6 | 29.3 |
| 80 | 28.5 | 31.8 | 30.5 |

  均方根误差：直线 2.61，对数 1.16
  ! 数据在 50 万之后就平了，直线模型看不见这个平面，它只会一直往上画。

  ⑤ 模型决定你看见什么
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  拿直线模型的人会说：投 80 万还差 3 万件，继续加投。
  拿对数模型的人会说：80 万已经在平面上，再加是白花钱。
  同一份数据，两个建议正好相反——差别不在数据，在模型。
  所以「数据说话」这句话是半句，另外半句是「模型决定数据说什么」。

手写的最小二乘和对数拟合，结果与 numpy 的 polyfit 一致（这里不用 numpy 是为了让公式露出来）。 两个 RMSE 差了一倍多：直线 2.61，对数 1.16。差这么多，选哪个就不该凭感觉了。

30 秒实验

1. 把最后两个销量点改成 32 和 36（真的还在涨），重算两个 RMSE，看谁赢。
2. 把对数换成平方根，RMSE 会变成多少？
3. 只取前五个点拟合，再拿后三个点验证，两个模型的预测差多少？

常见误区

1. 把拟合当因果：模型贴得好只说明它没违背数据，不说明它找到了原因。
2. 用 R² 当唯一标准：R² 高但残差有明显规律（比如都偏正），模型仍然是错的。
3. 在数据范围外做预测：80 万以内的点没覆盖 200 万，问它 200 万就是外插（第 11 章细讲）。
4. 忽略低端的偏差：直线模型在 10 万处高估了四万多件，这在真实业务里是致命的。

模型再贴，也总有没写进去的东西——竞品动作、政策、天气。 下一篇讲怎么把「不知道」也写进模型，而不是假装它不存在。

• ☐ （本篇完，下一篇 1.5 心智模型的盲区）

相关笔记

• 分析从你介入的那一刻开始
• 心智模型的盲区
• 深入挖掘数据
• 📈 深入浅出数据分析 · 索引