一、第二次结果：阴性

医生让你复查，第二次结果出来了：阴性。 这时候你的基础率已经是 16.7%，不再是人群的 1%。 如果照抄「灵敏度 99%、特异度 95%」，你会算出 79.8%——一个完全错误的答案，而且看上去还挺合理。

阴性不是「反向的阳性」，它是一次新的试验，三个输入都要重新想一遍。

二、算阴性的时候，三个参数都要换

函数里第二个参数是「有病的人被测出阳性的概率」。 现在结果不是阳性，这句话就变成了「有病的人被测出阴性的概率」，即 1 − 99% = 1%。 第三个参数是「没病的人被测出阴性的概率」。 现在要反过来，填「没病的人被测出阳性的概率」，即 1 − 95% = 5%。 所以调用写成 bayes(0.167, 0.01, 0.05)：基础率、假阴性率、假阳性率。算出来 0.21%。

只改第二个、忘了第三个，答案变成 3.8%；两个都不改，答案还是 79.8%。三种写法，三个答案。

三、为什么压得这么狠

算完 0.21%，只有人群基础率的五分之一。 原因在似然比：阳性是 0.99 ÷ 0.05 = 19.8，阴性是 0.01 ÷ 0.95 = 0.0105。 19.8 的意思是「阳性把可能性放大 20 倍」，0.0105 的意思是「阴性把可能性压小 95 倍」。 所以一次阴性的证据强度，大约抵得上 4.8 次阳性。反过来说，阳性结果本身真的不怎么值钱。

这也是筛查类检测的普遍规律：阴性几乎能排除，阳性只值得复查。

四、新信息改变基础概率

整章的方法，压缩成一句话：新信息进来，基础概率变，结论跟着变。 阳性一次：1% → 16.7%。阳性两次：→ 79.8%。阳性后阴性：16.7% → 0.21%。阴性两次：→ 0.011%。 每一条证据都在动这个数，动的幅度由证据的诊断性决定。

做决策时用的就是这个数，不是「阳性」「阴性」这两个字。「阳性」只是一个输入，不是一个结论。

五、这一章的收尾

第 6 章讲完了贝叶斯规则：先给事前判断，再用证据调它，调完的结果能当下一轮的起点。 它最难的地方不在数学，在承认「我先有一个判断」。很多人不肯承认这一点，于是把先验偷偷设成 50%。 第 7 章换一个话题：数据里的模式看着很像真的，其实可能只是随机涨落——怎么分辨这两种情况。

六、动手 Demo：第二次试验与新的基础概率

算阴性结果时，第二个参数换成 1 − 灵敏度，第三个换成 1 − 特异度。这是本节最容易错的地方。 算完把几条路径摆在一起，看概率怎么一路动过来。

def bayes(base, sens, spec):
    hit = base * sens
    fa = (1.0 - base) * (1.0 - spec)
    return hit / (hit + fa)

SENS, SPEC = 0.99, 0.95
p1 = bayes(0.01, SENS, SPEC)                  # 阳性一次
p_pp = bayes(p1, SENS, SPEC)                  # 阳性两次
p_pn = bayes(p1, 1 - SENS, 1 - SPEC)          # 阳性后阴性
p_nn = bayes(0.01, 1 - SENS, 1 - SPEC)        # 阴性两次

for name, v in (("没做试验", 0.01), ("阳性一次", p1), ("阳性两次", p_pp),
                ("阳性后阴性", p_pn), ("阴性两次", p_nn)):
    print("%-8s %8.3f%%" % (name, v * 100))

print()
lr_pos = SENS / (1 - SPEC)
lr_neg = (1 - SENS) / SPEC
print("似然比：阳性 %.1f，阴性 %.4f" % (lr_pos, lr_neg))
print("阴性一次抵得上 %.1f 次阳性" % ((1 / lr_neg) / lr_pos))
print()
print("照抄参数不改：%.1f%%，只改第二个：%.1f%%"
      % (bayes(p1, SENS, SPEC) * 100, bayes(p1, 1 - SENS, SPEC) * 100))

实跑输出：

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第二次试验与新的基础概率
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  ① 第二次试验结果：阴性
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  医生让你复查，第二次结果出来了：阴性。
  这时候你的基础率已经是 16.7%，不再是人群的 1%。
  算阴性要换参数：「病人被测出阴性」的概率是 1 减灵敏度 = 1%，
  「健康人被测出阴性」的概率是特异度 95%。
  算出来 0.21%。

  ② 比路人的 1% 还低
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  阳性一次把你从 1.00% 抬到 16.7%，阴性一次直接压到 0.21%。
  压得比人群基础率还低，是因为阴性方向的证据强得多：假阴性只有 1%，假阳性有 5%。
  再加上健康人本来就多，阳性那一轮里混进来的假阳性太多，一遇到阴性就全被排除了。
  ! 结论是：0.21% 远低于 1%，可以暂时放心。

  ③ 同一条规则，输入不同，输出天差地别
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| 经历 | 这一轮的灵敏度／假阳性率 | 患病概率 |
|---|---|---:|
| 没做试验 | — | 1.00% |
| 阳性一次 | 0.99 / 0.05 | 16.7% |
| 阳性两次 | 0.99 / 0.05 | 79.8% |
| 阳性后阴性 | 0.01 / 0.95 | 0.21% |
| 阴性两次 | 0.01 / 0.95 | 0.011% |

  第二列两个数之比就是似然比：阳性 0.99/0.05 = 19.8（把可能性放大 20 倍），
  阴性 0.01/0.95 = 0.0105（压小 95 倍）。
  一次阴性的证据强度，大约抵得上 4.8 次阳性。所以复查结果一出来，数字掉得这么狠。

  ④ 阴性也有代价
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  灵敏度 99% 的意思是：100 个真病人里，有 1 个会被判成阴性。
  所以「阴性」不等于「一定没病」，它只是「概率低到可以暂时不管」。
  要不要继续查，取决于漏掉一个病人的代价有多大——这是决策问题，不是概率问题。

  ⑤ 这一章的收尾
  --------------------------------------------------------------------
  贝叶斯规则就一件事：先给一个事前判断，再用证据去调它。调的方向和幅度都由证据的诊断性决定。
  下一章换一个话题：数据里的模式看起来很像真的，其实是随机的——怎么分辨这两件事。

最后一行是反面教材：照抄参数得 79.8%，只改第二个得 3.8%，两个都改才是 0.21%。 参数填错不会报错，只会给你一个看不出问题的错数。 似然比 95 比 19.8，是这一节最该记住的两个数：阴性几乎能排除，阳性只值得复查。

30 秒实验

1. 把灵敏度改成 0.90、特异度改成 0.99，阳性后阴性会变成多少？
2. 如果第二次用的是另一种试验（灵敏度 0.80、特异度 0.99），阳性后再阴性会是多少？
3. 想一想：为什么「阳性」「阴性」这两个词本身不能当结论用？

常见误区

1. 算阴性时忘了换参数：三个输入是三个不同的概率，照抄就是换了一道题。
2. 把阴性当「反向的阳性」：它不是取反，是一次新试验，参数要重新对号。
3. 把阳性当结论：阳性只是一个输入，要不要行动看最终那个概率。
4. 不承认先验：偷偷把先验设成 50%，等于假装自己什么都不知道。

第 6 章收尾。第 7 章开始处理另一类误判：你看到的规律，可能只是随机涨落。

• ☐ （本篇完，下一篇 7.1 背水投资公司与专家信念）

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