一、两个不同的评价维度

评价一个人的预测，有两件事要看：他偏不偏，和他稳不稳。 偏不偏用平均误差看：他给 60%，实际发生了 55%，误差就是 +5 个点。多次平均下来，接近 0 就是没偏。 稳不稳用标准偏差看：每次误差离平均值有多远。离得远说明忽高忽低，离得近说明稳定。

一个偏但稳的人，可以校正；一个不偏但乱的人，没法用。

二、两位分析师的历史

老张平均误差 0.0 点，伊万 −0.5 点。光看这个，两个人一样准。 可一个在 ±6 之间晃，一个在 ±18 之间晃。平均误差把这件事完全遮住了。

三、标准偏差怎么算

三步：先算平均，再算每个点离平均的平方，平方的平均再开方。 为什么要平方？因为不平方的话，正负误差会互相抵消，算出来永远是 0。 老张：平方和 154，除以 6 得 25.67，开方 5.07。伊万：平方和 1287.5，除以 6 得 214.58，开方 14.65。

伊万的标准偏差是老张的 2.9 倍。开会时该信谁，这一下就清楚了。

四、68% 规则的适用条件

经验规则：大约 68% 的观测落在「平均 ± 一个标准偏差」内，95% 落在 ± 两个内。 这条规则的前提是数据接近正态分布，而且样本量要够。六个点，两个前提都不满足。 实测：老张 6 次里 4 次落在 ±5.07 内，伊万 4 次落在 ±14.65 内，都是 67%——碰巧对上，但不能当成验证。

小样本时，标准偏差只能当「量级」看，不能当「精确的界限」用。

五、拿它做什么

第一，挑人：两个人平均误差接近，选标准偏差小的那个。 第二，定权重：把两个人的判断加权平均时，稳的那个权重大。 第三，定区间：他说 60%，历史标准偏差 5 个点，那就可以给他 55% 到 65% 的合理范围。

这三件事都比「谁说得更有道理」靠得住——因为它们用的是同一个人的历史，不是这一次的说服力。

六、动手 Demo：标准偏差量度偏差

两位分析师各六次误差，先算平均，再算标准偏差。 最后数一数有多少次落在「平均 ± 一个标准偏差」内，看看 68% 这条规则灵不灵。

import math

A = [-5, 4, -6, 5, -4, 6]
B = [-15, 12, -18, 14, -12, 16]

def mean(v):
    return sum(v) / float(len(v))

def sd(v):
    m = mean(v)
    return math.sqrt(sum((x - m) ** 2 for x in v) / float(len(v)))

for nm, v in (("老张", A), ("伊万", B)):
    m, s = mean(v), sd(v)
    inside = sum(1 for x in v if abs(x - m) <= s)
    print("%-4s 平均 %+5.1f  标准偏差 %5.2f  落在 ±1σ 内 %d/6"
          % (nm, m, s, inside))

print()
print("标准偏差之比：%.2f" % (sd(B) / sd(A)))
print("注意 4/6 = %.0f%%，和 68%% 差不多——6 个点太少，这一点对上纯属巧合"
      % (4 / 6.0 * 100))

实跑输出：

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标准偏差量度偏差
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  ① 光有区间还不够
  --------------------------------------------------------------------
  区间是每个人自己说的。有人说 20 个点宽，有人说 40 个点宽，宽度本身就带着自信程度。
  要比较谁更可靠，得看历史：过去他说 60% 的时候，实际发生的频率是多少。

  ② 两位分析师的历史误差
  --------------------------------------------------------------------

| 次数 | 老张的误差（点） | 伊万的误差（点） |
|---|---:|---:|
| 第 1 次 | -5 | -15 |
| 第 2 次 | +4 | +12 |
| 第 3 次 | -6 | -18 |
| 第 4 次 | +5 | +14 |
| 第 5 次 | -4 | -12 |
| 第 6 次 | +6 | +16 |

  误差 = 他给的数减去实际值。正数是高估，负数是低估。

  ③ 两个人的平均误差差不多
  --------------------------------------------------------------------
  老张平均误差 +0.0 点，伊万平均误差 -0.5 点。
  光看平均，两个人一样准——都是「基本没偏」。
  可他们的误差分布完全不同：一个在 ±6 之间晃，一个在 ±18 之间晃。

  ④ 标准偏差：把「晃得多厉害」变成一个数
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  老张的标准偏差 5.07 点，伊万的标准偏差 14.65 点。
  标准偏差算的是「每个点离平均值有多远」，再取平均（平方后平均再开方）。
  所以它衡量的是离散程度，不是准确程度。平均误差衡量准不准，标准偏差衡量稳不稳。
  ! 伊万的标准偏差是老张的 2.9 倍。开会时该信谁，这一下就清楚了。

  ⑤ 68% 这条经验规则，用小样本要小心
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  经验规则说：大约 68% 的点会落在「平均值 ± 一个标准偏差」之内。
  老张 6 次里有 4 次落在里面，伊万有 4 次。
  ! 6 个点太少，算出来的比例跟 68% 对不齐很正常。样本这么小的时候，标准偏差只能当粗略的量级看。

平均误差两个人都是 0 附近，标准偏差差 2.9 倍。只看平均会得出「两个人都一样」的错误结论。 4/6 这个比例是数出来的。它和 68% 接近，但六个点算出来的比例本来就只有 1/6 的精度，不能当验证。

30 秒实验

1. 如果把伊万的误差整体除以 2（变成 −7.5、+6 等），平均和标准偏差各变多少？
2. 如果老张有一次误差是 +20 而不是 +6，标准偏差会从 5.07 变成多少？这说明什么？
3. 想一想：一个人平均误差 +10、标准偏差 2，另一个人平均误差 0、标准偏差 10，你会用谁？为什么？

常见误区

1. 只用平均误差评价：平均 0 可能意味着「很准」，也可能意味着「正负互抵」。
2. 把标准偏差当准确度：它量的是离散程度。一个永远偏 +10 的人，标准偏差可以是 0。
3. 小样本硬套 68%：六个点算出来的比例，精度只有 1/6，不能当规律验证。
4. 不同口径的误差混着比：一个按百分点算、一个按百分比算，标准偏差没法比。

人的可靠性量出来了。可世界会变——下一篇讲新信息进来时，信念该怎么往证据那边挪。

• ☐ （本篇完，下一篇 7.4 新闻来了，概率要改）

相关笔记

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